Вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними
![Вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними](https://i2.wp.com/images.myshared.ru/546501/slide_1.jpg)
Определение
Вершина угла
Вершина угла - это точка, окуда берут начало два луча.
Вершина угла - это точка, откуда берут начало два луча ; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке .
Вершина многоугольника многогранника
В многоугольнике вершина называется «выпуклой », если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° - два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».
Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой , имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.
Вершины многогранника связаны с вершинами графа , поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника , а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс , вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер , что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , точками экстремумов её кривизны - вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника . Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.
Вершины плоских мозаик
«Уши»
«Рты»
Основная вершина x i {\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P {\displaystyle P} называется «ртом», если диагональ [ x i − 1 , x i + 1 ] {\displaystyle } лежит вне P {\displaystyle P} .
Число вершин многогранника
Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику :
V − E + F = 2 , {\displaystyle V-E+F=2,}где V {\displaystyle V} - число вершин, E {\displaystyle E} - число рёбер, а F {\displaystyle F} - число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера . К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому - 8 вершин: 8 − 12 + 6 = 2 {\displaystyle 8-12+6=2} .
Вершины в компьютерной графике
В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники , в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты , но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность , текстура , нормали вершин . Эти свойства используются при построении изображения с помощью
Любая диагональ делит на два многоугольника и. За и обозначим количество вершин в и соответственно. Многоугольник является -монотонным, если в нём отсутствуют split и merge вершины.
ВЕРШИНА - ВЕРШИНА, в математике точка, в которой сходятся две стороны треугольника или другого многоугольника, либо пересекаются три и более сторон пирамиды или другого многогранника. Алгоритм точки в многоугольнике - Проверка принадлежности данной точки данному многоугольнику На плоскости даны многоугольник и точка. Многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым.
ДИАГОНАЛЬ - (греч., от dia чрез, и gonia угол). 1) прямая линия, соединяющая в прямолинейной фигуре вершины двух углов, не лежащие на одной прямой. Определение. Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). Отрезки (звенья) замкнутой ломаной линии называются сторонами многоугольника, а общие точки двух отрезков - его вершинами.
Определение. Четырехугольник - это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника). У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Многоугольником может называться замкнутая ломаная с самопресечениями и правильные звёздчатые многоугольники.
Линии и многоугольники
1) β n-угольника β-стороной или γ-стороной в соответствии с тем, какой угол примыкает к её левому концу (если смотреть изнутри). Если он ориентирован не так, как ABC, то его верхняя сторона, равная и параллельная AB, является стороной P, а тогда n чётно (в правильном нечётноугольнике нет параллельных сторон).
Многоугольник, заданный одной ломаной
Докажем что из каждой вершины многоугольника выходит не меньше двух диагоналей. Но тогда каждая сторона n-угольника лежит в треугольнике разбиения, содержащем ещё одну его сторону. Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны.
Таким образом, углы соответствующие разным сторонам, не накладываются. Будем двигать прямую, параллельную m, и смотреть на длину отрезка, высекаемого на ней многоугольником.
Цвет заливки многоугольника
Триангуляция любого многоугольника не единственна. В этом можно убедиться из примера на рисунке. Простым многоугольником является фигура, ограниченная одной замкнутой ломаной, стороны которой не пересекаются.
Задание стиля многоугольника
У любого простого -вершинного многоугольника всегда существует триангуляция, причём количество треугольников в ней независимо от самой триангуляции. В общем случае в произвольном -угольнике всего возможных вариантов построения диагоналей. Для некоторых классов многоугольников предыдущую оценку можно улучшить. Например, если многоугольник выпуклый, то достаточно лишь выбирать одну его вершину и соединять со всеми остальными, кроме его соседей.
Тогда докажем, что содержит split и merge вершины. Чтобы сделать многоугольник монотонным, нужно избавиться от split и merge вершин путём проведения непересекающихся дигоналей из таких вершин. Рассмотрим горизонтальную заметающую прямую, будем перемещать её сверху вниз вдоль плоскости на которой лежит исходный многоугольник. Будем останавливать её в каждой вершине многоугольника.
Добавление многоугольника на карту
Пусть и - ближайшее левое и правое ребро относительно split вершины, которые пересекает в данный момент. Тип вершины, хранящийся в не имеет значения. Таким образом, чтобы построить диагональ для split вершины нужно обратиться к указателю её левого ребра, которое пересекает в данный момент.
В подходе, описанном выше, требуется находить пересечения заметающей прямой и левых ребёр многоугольника. Создадим приоритетную очередь из вершин, в которой приоритетом будет -координата вершины. Если две вершины имеют одинаковые -координаты, больший приоритет у левой. Вершины будут добавляться на «остановках» заметающей прямой.
Отсюда не пересекает ни одну из сторон в посторонних точках. Поскольку внутри никаких вершин вершин находиться не может, и оба конца любой добавленной ранее диагонали должны лежать выше, диагональ не может пересекать никакую из ранее добавленных диагоналей.
Будем проходить сверху вниз по вершинам многоугольника проводя диагонали где это возможно. Следовательно, наш многоугольник лежит в полосе с границами b и c, откуда получаем, что P – наиболее удаленная от прямой b, содержащей сторону a , вершина многоугольника.
Вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Вершины многоугольника - страница №1/1
Геометрия 8 класс К.К.Кургинян Часть-1* (со звездочкой).
Многоугольник.
Определение: Многоугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из плоской, замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Вершины многоугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями .
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°. Сумма внешних углов многоугольника 360°.
Выпуклый многоугольник.
Многоугольник
называется выпуклым если:
Определение
I
-
для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём.
Определение II - каждый внутренний угол меньше 180° .
Определение III - все его диагонали полностью лежат внутри него.
Определение
IV
–
он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сумма углов
n
-угольника.
Сумма углов
выпуклого n-угольника равна (n-2)∙180°.
Сумма углов
невыпуклого n-угольника также равна (n-2)∙180°. (Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники).
Число диагоналей
n
-угольника.*
Теорема: Число диагоналей всякого n-угольника равно n(n-3)2.
Доказательство: Пусть n - число вершин многоугольника, вычислим p- число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n-3 диагонали; перемножим это на число вершин (n-3)∙n, однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца, следовательно, надо разделить на 2) - отсюда, p= n(n-3)2.
Задача*: в каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше чем сторон?
25+n = nn-32
50 + 2n = n 2 - 3n
n 2 - 5n - 50 = 0
Разложим на множители
n 2 -25-5n -25 = 0
n=-5 не удовлетворяет,
так как не существует
такой многоугольник
n = 10 удовлетворяет
Ответ: Десяти угольник.
Фигуры с равными диагоналями.*
На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой - это квадрат и правильный пятиугольник (пентагон) . У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).
В пространстве существует единственный правильный многогранник (не многоугольник ), у которого все диагонали равны между собой - это правильный восьмигранник (октаэдр) . У октаэдра три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра - пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).
Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой - это куб (гексаэдр), помимо пространственных у куба есть диагонали граней . У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые пересекаются в центре. Угол между диагоналями куба составляет либо arccos (1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos (–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).
Четырехугольники.
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.
Две несмежные стороны называются противоположными.
Две не соседние вершины называются противоположными.
1.Параллелограмм
- это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=DC, AD=BC.
2) Противоположные углы параллелограмма равны. A=C, B=D.
3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD.
4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.
5) Сумма всех углов равна 360°. A+B+C+D=360°.
6)* Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).
Задача 1*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна AC=9 см, а стороны AD=7 см и AB=4 см.
Решение: Подставив значения в формулу получим:
81+BD 2 =2∙(49+16),
BD 2 =49, следовательно вторая диагональ равна BD=7 см. Ответ: 7 см.
Задача 2*:
Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна BD=10 см, а стороны AD=8 см и AB=2 см.
Решение: Условия задачи не верно, так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третей стороны. Ответ: задача не имеет решений (смысла).
Задача 3*:
а)Найти сторону параллелограмма, если известно, что длина диагоналей равна BD=6 см, AC=8, а одна сторона AB=5 см. б)Как называется этот параллелограмм.
Задача 4**:
Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см, а произведение 32 найдите значение суммы квадратов всех его сторон.
Задача 5**:
Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.
Решение: Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей наибольший периметр имеет ромб .
Действительно, пусть a и b – длины соседних сторон параллелограмма, а и – длины его диагоналей (см. рис. 2). Тогда периметр параллелограмма: P = 2(a + b ).
Из равенства, выражающего теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная.
По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным: , причем равенство достигается т. и т. т., когда a = b . Значит, параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом. Находим сторону этого ромба: =5(см). Ответ: 20 см.
2.Прямоугольник
- это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Определение 3: это параллелограмм, у которого один угол прямой.
Определение 4: это параллелограмм, у которого углы равны.
Свойства прямоугольника:
+
1) Диагонали прямоугольника равны.
2)* Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. AC 2 =AB 2 +DC 2
Задача 1: Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.
Задача 2: Меньшая сторона прямоугольника равна 24, диагонали пересекаются под углом 120°. Найдите диагонали и большую сторону прямоугольника.
Задача 3*: Сторона прямоугольника равна 3 см, диагональ 5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.
Задача 4*: Сторона прямоугольника равна 6 см, диагональ 10 см. Найдите площадь прямоугольника.
3.Ромб
- это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).
2) Диагонали ромба делят его углы пополам (то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠CDB).
3)*Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма). AC 2 +BD 2 =4·AB 2
Задача 1:
Диагонали ромба 6 и 8 см. Найти сторону ромба.
Задача 2:
Сторона ромба 10 см, один из углов 60. Найти маленькую диагональ ромба.
4.Квадрат
-это параллелограмм, у которого все углы равны 90 и все стороны равны.
Определение 2: это параллелограмм, у которого все углы и стороны равны между собой.
Определение 3: это четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны между собой.
Определение 4: это ромб, у которого один угол прямой.
Определение 5: это ромб, у которого углы равны.
Определение 6: это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали квадрата равны.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам (то есть диагонали квадрата являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠CDB=45).
4)* Квадрат диагонали равен удвоенному квадрату стороны. AC 2 =2·AB 2
5.Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями, а две другие боковыми.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция называется прямоугольной, если один из его углов прямой.
Задача:
Докажите, что трапеция не может одновременно быть и прямоугольной и равнобедренной.
Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.
Определение 1
Многоугольник
— это фигура, составленная из отрезков
так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Определение 2
Многоугольником называется простая замкнутая .
Точки
называются вершинами многоугольника , отрезки
— сторонами многоугольника .
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .
Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .
Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.
Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.
Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.
Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали
(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).
Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.
Следовательно, n — угольник имеет
диагонали.
Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
В разделе на вопрос Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? заданный автором Арек Григорян
лучший ответ это Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех многоугольника.
Источник: Спасибо Яндексу за это
Ответ от Ёоколёнок
[гуру]
Ответ от Невролог
[новичек]
Ответ ОТРЕЗОК!!!
Ответ от Особь
[новичек]
огромное спасибо
Ответ от Простыня
[новичек]
многоугольник - фигура имеющая больше 4х углов.
вершина - вершина угла, точка пересечения двух сторон.
сторона - ну собственно - сторона))) такая палочка, из которых он составлен
диагональ - линия проведенная из одного угла в другой
периметр - сумма длин всех сторон