События и их классификация. Случайные события и их классификация
Понятие события Событие: всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти Классификация событий: достоверные невозможные вероятные равновозможные события несовместные события и полная группа несовместных событий независимые события противоположное событие
Модельные объекты в теории вероятностей: - монета (два равновозможных события) - игральная кость (шесть равновозможных событий - игральные карты (36 или 52 равновозможных событий) - шары разного цвета в урне (число равновозможных событий зависит от числа шаров разного цвета и общего числа шаров) Полная группа несовместных событий: - орел и решка у монеты - цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 у игральной кости
Комбинаторное определение вероятности Вероятность = отношению числа благоприятных событий к общему числу равновозможных событий n – общее число равновозможных событий m – число благоприятных событий Вероятность Область значений Р: Достоверное событие Р = 1Невозможное событие Р = 0
Задачи Задача 1: в урне находится 2 белых и 3 красных шара. Из урны наугад вытаскивается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? Задача 2: подбрасывается монета. Какова вероятность выпадения орла? Вероятность выпадения решки? Задача 3: монета подбрасывается дважды. Какова вероятность выпадения двух орлов? Задача 4. Одновременно кидаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков составит 3? Задача 5. Монета бросается 125 раз. Каковая вероятность, что она упадет орлом 16 раз?
Операции с событиями Сумма событий А и В: событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В. С = А + В Произведение событий А и В: событие С, которое состоит в совместном появлении событий А и В. С = АВ Задача 6: Бросается кость. Записать событие, состоящее в том, что выпало четное число очков Задача 7: в одной урне 2 белых и 1 черный шар; в другой урне: 1 белый и 1 черный шар. Записать событие, которое состоит в том, что из урн выбраны 2 белых шара
Чтобы рассчитать статистическую вероятность необходимо после проведения испытаний подсчитать: общее число всех проведенных испытаний (n) число испытаний, в которых появилось событие А (m) рассчитать относительную частоту W(A) Пример: При обследовании 250 студентов у 25 человек был обнаружен бронхит. Какова вероятность заболевания у студентов? Решение: 1.общее число всех проведенных испытаний=250 2.число испытаний, в которых появилось событие А=25 Относительная частота:
Комбинаторика Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных перестановок рассчитывается по формуле: P n = n!, n!= 123…n, причем 0!=1, 1!=1 Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются хотя бы одним элементом Пример: Приема у врача ожидают 3 мужчин и 5 женщин. Врач вызывает двоих. Какова вероятность того, что зайдут один мужчина и одна женщина? Решение: 1) Число общих исходов (способы, которые позволяют вызвать 1 мужчину и 1 женщину из 8 человек) 2) Число благоприятных исходов для мужчин -, для женщин Вероятность
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.
Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.
От размышлений о вечном до теории вероятностей
Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.
Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.
Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.
Что такое случайность
Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.
Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.
Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…
Вероятность случайного события
Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.
Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).
В теории вероятностей отличают:
- достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
- невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
- случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).
Отношения между событиями
Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.
По отношению друг к другу события могут быть:
- Равновозможными.
- Совместимыми.
- Несовместимыми.
- Противоположными (взаимоисключающими).
- Зависимыми.
Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .
Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.
Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.
Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.
Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.
Отношения между событиями. Примеры
На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.
Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.
Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.
Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.
Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.
Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:
- Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
- Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
- Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
- Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
- Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
- Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
- Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.
Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).
Формула вероятности события
Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.
С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».
Итак, формула вероятности события:
Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:
0 ≤ Р(А)≤ 1.
Расчет вероятности события. Пример
Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.
На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:
- A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
- B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
- C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.
Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.
Несовместные события
Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.
Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.
Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.
В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.
Вероятность суммы несовместных событий
Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:
Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.
Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.
Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,
Р(А) + Р(Ā) = 1
Вероятность произведения несовместных событий
Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна
То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.
Совместные события
События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.
Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.
Вероятность суммы совместных событий. Пример
Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):
Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)
Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".
Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.
Геометрия вероятности для наглядности
Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.
Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.
Зависимые события
Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.
Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.
Пример расчета вероятности зависимых событий
Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.
На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:
- Бубновая.
- Другой масти.
Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:
Р A (В) =8/35=0,23
Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:
Р A (В) =9/35=0,26.
Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.
Умножение зависимых событий
Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:
Р(А) = 9/36=1/4
Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.
Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):
Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)
Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:
9/36*8/35=0,0571, или 5,7%
И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:
27/36*9/35=0,19, или 19%
Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.
Полная вероятность события
Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:
Взгляд в будущее
Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.
Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.
Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом , или испытанием , понимается осуществление определённого комплекса условий.
Примеры событий:
- - попадание в цель при выстреле из орудия (опыт -- произведение выстрела; событие -- попадание в цель);
- - выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт -- трёхкратное бросание монеты; событие -- выпадение двух гербов);
- - появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт -- измерение дальности; событие -- ошибка измерения).
Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A,B,C и т.д.
Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие AA -- выпадание трех очков на первой игральной кости, событие B -- выпадание трех очков на второй кости. A и В -- совместные события.
Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие A -- наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие B -- коробка окажется с обувью коричневого цвета, A и B -- несовместные события.
Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная -- невозможным.
Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.
События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.
Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера.
A -- появление красного шара при одном извлечении,
B -- появление белого шара,
C -- появление шара с номером. События A,B,C образуют полную группу совместных событий.
Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием
AЇ понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие
A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.
События и их классификация
Основные понятия теории вероятностей
При построении любой математической теории, прежде всего, выделяют простейшие понятия, которые принимаются в качестве исходных фактов. Такими основными понятиями в теории вероятностей являются понятие случайного эксперимента , случайного события, вероятности случайного события.
Случайный эксперимент – это процесс регистрации наблюдения за интересующим нас событием, которое осуществляется при условии заданного стационарного (не изменяющегося во времени ) реального комплекса условий , включающего в себя неизбежность влияния большого числа случайных (не поддающихся строгому учету и контролю) факторов.
Эти факторы в свою очередь не позволяют делать полностью достоверные выводы о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. При этом предполагается, что мы имеем принципиальную возможность (хотя бы мысленно реально осуществимую) многократного повторения нашего эксперимента или наблюдения в рамках того же комплекса условий .
Приведем несколько примеров случайных экспериментов.
1. Случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании идеально симметричной монеты, включает в себя такие случайные факторы, как сила, с которой брошена монета, траектория полета монеты, начальная скорость, момент вращения и т.д. Эти случайные факторы не дают возможности точно определить исход каждого отдельного испытания: «при бросании монеты появится герб» или «при бросании монеты появится решка».
2. Завод «Стальканат» производит испытание изготовленных тросов на максимально допустимую нагрузку. Нагрузка изменяется в некоторых пределах от одного эксперимента к другому. Это обусловлено такими случайными факторами, как микро дефекты в материале, из которых изготовлены тросы, различные помехи в работе оборудования, происходящие при производстве тросов, условия хранения, режим проведения экспериментов и т.д.
3. Производится серия выстрелов из одного и того же орудия по определенной цели. Попадание в цель зависит от многих случайных факторов, к которым относятся состояние орудия и снаряда, установка орудия, мастерство наводчика, погодные условия (ветер, освещенность и т.д.).
Определение. Реализация определенного комплекса условий называется испытанием . Результат испытания называется событием.
Обозначаются случайные события заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C … или заглавной буквой с индексом: .
Например, сдача экзамена при осуществлении заданного комплекса условий (экзамен письменный, включающий рейтинговую систему оценки, и т.д.) – это испытание для студента, а получение определенной оценки – это событие;
проведение выстрела из орудия при осуществлении заданного комплекса условий (погодные условия, состояние орудия и т.д.) – это испытание, а попадание или непопадание в цель – это событие.
Мы можем многократно повторить тот же самый эксперимент в тех же самых условиях. Наличие большого числа случайных факторов, характеризующих условия проведения каждого такого эксперимента, делает невозможным полностью определенного заключения о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие в отдельном испытании. Отметим, что в теории вероятностей такой задачи не ставится.
Классификация событий
События бывают достоверными, невозможными и случайными .
Определение. Событие называется достоверным , если при заданном комплексе условий оно обязательно наступает.
Все достоверные события обозначаются буквой ( первая буква англ. слова universal- всеобщий)
Примерами достоверных событий являются: появление белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; выигрыш в беспроигрышной лотерее.
Определение. Событие называется невозможным , если при заданном комплексе условий оно наступить не может.
Все невозможные события обозначаются буквой .
Например, в евклидовой геометрии сумма углов треугольника не может быть больше , нельзя получить оценку «6» на экзамене при пятибалльной системе оценок.
Определение. Событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться при данном комплексе условий.
Например, случайными событиями являются: событие появление туза из колоды карт; событие выигрыш в матче футбольной команды; событие выигрыш в денежно-вещевой лотерее; событие покупка бракованного телевизора и т.д.
Определение. События называются несовместными , если появление одного из этих событий исключает появление любого другого.
Пример 1. Если рассматривать испытание, которое состоит в подбрасывании монеты, то события – появление герба и – появление цифры – события несовместные.
Определение. События называются совместными, если появление одного из этих событий не исключает появления других событий.
Пример 2. Если производится выстрел из трех орудий, то совместными являются события: попадание из первого орудия; попадание из второго орудия; попадание из третьего орудия.
Определение. События называются единственно возможными , если при реализации заданного комплекса условий обязательно должно наступить хотя бы одно из заданных событий.
Пример 3. При бросании кости возможны следующие единственно возможные события:
A 1 – появление одного очка,
A 2 – появление двух очков,
A 3 – появление трех очков,
A 4 – появление четверых очков,
A 5 – появление пяти очков,
A 6 – появление шести очков.
Определение. Говорят, что события образуют полную группу событий , если эти события единственно возможные и несовместные.
События, которые рассматривалось в примерах 1, 3, образуют полную группу, так как они несовместные и единственно возможные.
Определение. Два события, образующие полную группу называются противоположными.
Если - некоторое событие, то противоположное ему событие обозначают .
Пример 4. Если событие выпадение герба, то событие выпадение решки.
Противоположными событиями также являются: «студент сдал экзамен» и «студент не сдал экзамен», «завод выполнил план» и «завод не выполнил план».
Определение. События называются равновероятными или равновозможными , если при проведении испытания все они объективно имеют одинаковую возможность на появление.
Отметим, что равновозможные события могут появляться только в опытах обладающих симметрией исходов, которая обеспечивается специальными методами (например, изготовление абсолютно симметричных монет, игральных костей, тщательная тасовка карт, косточек домино, перемешивание шаров в урне и т.д.).
Определение. Если исходы некоторого испытания единственно возможны, несовместны и равновозможны, то они называются элементарными исходами , случаями или шансами , а само испытание называется схемой случаев или «схемой урн» (так как любую вероятностную задачу для рассматриваемого испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами различных цветов).
Пример 5. Если в урне 3 белых и 3 черных шара, одинаковых на ощупь, то событие A 1 – появление белого шара и событие A 2 – появление черного шара являются событиями равновероятными.
Определение . Говорят, что событие благоприятствует событию или событие влечет за собой событие , если при появлении событие обязательно наступает.
Если событие влечет за собой событие , то это обозначают символами эквивалентными или равносильными и обозначают
Таким образом, равносильные события и при каждом испытании или оба наступают или оба не наступают.
Для построения теории вероятностей, помимо уже введенных основных понятий (случайного эксперимента, случайного события), необходимо ввести еще одно основное понятие – вероятности случайного события .
Отметим, что представления о вероятности события менялись в ходе развития теории вероятностей. Проследим историю развития этого понятия.
Под вероятностью случайного события понимают меру объективной возможности появления события.
Это определение отражает понятие вероятности с качественной точки зрения. Оно было известно еще в древнем мире.
Количественное определение вероятности события впервые было дано в работах основоположников теории вероятностей, которые рассматривали случайные эксперименты, обладающие симметрией или объективной равновозможностью исходов. К таким случайным экспериментам, как уже отмечалось выше, относятся чаще всего искусственно организованные эксперименты, в которых предприняты специальные методы для обеспечения равновозможности исходов (тасовка карт или костей домино, изготовление идеально симметричных игральных костей, монет и т.д.). Применительно к таким случайным экспериментам в ХVII в. французским математиком Лапласом было сформулировано классическое определение вероятности.
Теория вероятностей изучает виды событий и вероятности их появления. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.
Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.
Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события
Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:
- достоверные события;
- невозможные события;
- случайные события.
Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.
Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.
Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.
Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.
Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.
Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.
Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.
Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.
Случайные события могут быть:
- несовместными;
- совместными.
События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.
Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.
Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .
Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.
Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:
- будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
- будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
- будут решены обе задачи;
- не будет решена ни одна из задач.
Эти события образуют полное множество несовместных событий .
Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.
Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().
События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.
Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.
Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической
Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :
Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.
Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .
Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.
Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5
Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.
Решение. Искомая вероятность
Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.
Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.
Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.
Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:
Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.
Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):
Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:
Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.
Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):
По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:
Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:
Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?