Решение квадратных уравнений через определитель. Калькулятор онлайн
Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.
Общий вид квадратного уравнения
Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше - по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.
Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.
Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.
Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.
Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:
- в решении будет два корня;
- ответом будет одно число;
- корней у уравнения не будет совсем.
И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.
Виды записей квадратных уравнений
В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.
Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:
Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.
Дискриминант и зависимость количества корней от его значения
Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.
После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.
Как решается квадратное уравнение полного вида?
По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.
Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.
Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.
Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.
Как решается квадратное уравнение неполного вида?
Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.
Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый - обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.
Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.
Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.
- Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом - без степени и последним - просто число.
- Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
- Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.
Примеры
Требуется решить следующие квадратные уравнения:
х 2 − 7х = 0;
15 − 2х − х 2 = 0;
х 2 + 8 + 3х = 0;
12х + х 2 + 36 = 0;
(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).
Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.
После вынесения за скобки получается: х (х - 7) = 0.
Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х - 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.
Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.
После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.
Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х - 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = - 5.
Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».
Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.
Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 - х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!
Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.
Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.
График функции является параболой:
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Пример 12
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным .
Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное .
Методы решения неполных квадратных уравнений
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 15
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Пример 16
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Пример 17
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?
Но ведь дискриминант может быть отрицательным.
Что делать?
Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней?
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, .
А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось).
Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
4 примера решения квадратных уравнений
Пример 18
Ответ:
Пример 19
Ответ: .
Пример 20
Ответ:
Пример 21
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 22
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример 23
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример 24
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример 25
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример 26
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант.
Старайся использовать теорему Виета как можно чаще!
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней.
Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров.
Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!
5 примеров на теорему Виета для самостоятельной работы
Пример 27
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Пример 28
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Пример 29
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное.
Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях.
Так что сперва нужно уравнение привести.
Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант).
Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Пример 30
Задание 4.
Свободный член отрицательный.
Что в этом особенного?
А то, что корни будут разных знаков.
И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом.
Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть.
Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Пример 31
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом?
Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведем итог
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 32
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 33
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает?
Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата
Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax 2 + dx + c = 0 . В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.
Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:
Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.
Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения .
Допустим наше уравнение ax 2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения -
D = b 2 - 4 ac
И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:
Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
- Когда D равно нулю, имеется только один корень.
- Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.
Рассмотрим для наглядности:
Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.
1) х 2 - 8х + 12 = 0
2)5х 2 + 3х + 7 = 0
3) х 2 -6х + 9 = 0
Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.
Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.
Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.
Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.
Рассмотрим еще один пример:
1) х 2 - 2х - 3 = 0
2) 15 - 2х - х 2 = 0
3) х 2 + 12х + 36 = 0
Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.
Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как
1х 2 + 9х = 0
2х 2 - 16 = 0
Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.
Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.
Дискриминант - многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?
Квадратный многочлен, как искать его корни
Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где "i" и "j" - первый и второй коэффициент соответственно, "k" - константа, которую иногда именуют "свободным членом", а "w" - переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w - w1) и (w - w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент "i" не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.
Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j - 4 * i * k. Зачем она используется?
- Она говорит, имеются ли действительные результаты.
- Она помогает их высчитать.
Как это значение показывает наличие вещественных корней:
- Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
- Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
- Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.
Варианты расчётов для закрепления материала
Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.
Если рассмотреть 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 эквивалентный 0 , то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел {4; 2; 1} и равняется 9 - 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.
Если взять сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} и прировнять к 0 , D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел {4; 1; 1}. Это выражение упростится до 4 - 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это "полный квадрат". Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче "-1". В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле "квадрат суммы".
Использование дискриминанта в вычислении корней
Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:
w = (-j +/- d) / (2 * i), где d - дискриминант в степени 1/2.
Допустим, дискриминант ниже нулевой отметки, тогда d - мнимо и результаты мнимые.
D нулевой, тогда d, равный D в степени 1/2, тоже нулевой. Решение: -j / (2 * i). Снова рассматриваем 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, находим результаты эквивалентные -2 / (2 * 1) = -1.
Предположим, D > 0, значит, d - вещественное число, и ответ здесь распадается на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j - d) / (2 * i). Оба результата окажутся действительные. Взглянем на 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Здесь дискриминант и d - единицы. Выходит, w1 равняется (3 + 1) делить (2 * 2) или 1, а w2 равен (3 - 1) делить на 2 * 2 или 1/2.
Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:
- Определение количества действительных решений.
- Вычисление d = D ^ (1/2).
- Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
- Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
Некоторые частные случаи
В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:
- многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
- при положительной константе действительных решений найти нельзя.
Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}
Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.
Приведенное уравнение второй степени
Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом - единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе "k".
Следовательно, w1 + w2 равно -j и w1 * w2 равняется k, если первый коэффициент - единица. Чтобы убедиться в правильности такого представления, можно выразить из первой формулы w2 = -j - w1 и подставить его во второе равенство w1 * (-j - w1) = k. В итоге получается исходное равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Важно отметить , что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на "i". Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.
Взглянем на уже решенное 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 с результатами w1 = 1 и w2 = 1/2. Надо поделить его пополам, в итоге w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Проверим, что для найденных результатов справедливы условия теоремы: 1 + 1/2 = 3/2 и 1*1/2 = 1/2.
Чётный второй множитель
Если множитель при переменной в первой степени (j) делится на 2 , то удастся упростить формулу и искать решение через четверть дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. получается w = (-j +/- d/2) / i, где d/2 = D/4 в степени 1/2.
Если i = 1, а коэффициент j - чётный, то решением будет произведение -1 и половины коэффициента при переменной w, плюс/минус корень из квадрата этой половины за вычетом константы "k". Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.
Более высокий порядок дискриминанта
Рассмотренный выше дискриминант трёхчлена второй степени - это наиболее употребимый частный случай. В общем же случае дискриминант многочлена представляет собой перемноженные квадраты разностей корней этого многочлена . Следовательно, дискриминант равный нулю говорит о наличии как минимум двух кратных решений.
Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.
D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.
Допустим, дискриминант превосходит ноль . Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D < 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень - вещественный.
Видео
Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.
Просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе
надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:
Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно. Самое главное - правильно
определить все коэффициенты, а , b и c .
Формула для нахождения корней квадратного уравнения.
Выражение под знаком корня называется дискриминант . Как видим, для нахождения икса, мы
используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения . Просто аккуратно подставляем
значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!
Например , в уравнении:
а =1; b = 3; c = -4.
Подставляем значения и записываем:
Пример практически решён:
Это ответ.
Самые распространённые ошибки - путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, с подстановкой
отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы
с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!
Предположим, надо вот такой пример решить:
Здесь a = -6; b = -5; c = -1
Расписываем все подробно, внимательно, ничего не упуская со всеми знаками и скобками:
Часто квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:
А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок.
Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.
Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:
Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:
Избавьтесь от минуса. Как? Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:
А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример.
Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.
Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета .
Для решения приведённых квадратных уравнений, т.е. если коэффициент
x 2 +bx+c=0,
тогда x 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =− b
Для полного квадратного уравнения, в котором a≠1 :
x 2 + b x+ c =0,
делим все уравнение на а:
→ →
где x 1 и x 2 - корни уравнения.
Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте
уравнение на общий знаменатель.
Вывод. Практические советы:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .
2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего
уравнения на -1.
3. Если коэффициенты дробные - ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий
множитель.
4. Если икс в квадрате - чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по