Основной закон вращательного движения твердого тела. Вывод основного закона динамики вращательного движения
![Основной закон вращательного движения твердого тела. Вывод основного закона динамики вращательного движения](https://i1.wp.com/syl.ru/misc/i/ai/189925/804364.jpg)
В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".
Основные понятия кинематики вращательного движения
Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.
Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.
Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .
Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.
За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:
φ = φ(t).
Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:
ΔS = Δφr.
Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения
Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .
Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:
ω = dφ/dt.
Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле
ω = φ/t.
Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости
[ω] = 1 рад/с.
Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то
ω = 2π/T,
поэтому период вращения определим следующим образом:
T = 2π/ω.
Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:
ν = 1/T.
Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.
Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:
ω = 2πν.
Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения
Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.
Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:
ε = dω/dt.
Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.
Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.
Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).
Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение
Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением
ΔS = Δφ r.
Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Итак, в скалярном виде
a = ω 2 r.
Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение
a = ε r.
Момент импульса материальной точки
Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.
Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).
В скалярной форме
L = m i υ i r i sin(υ i , r i).
Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,
sin(υ i , r i) = 1.
Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид
L = m i υ i r i .
Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку
Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.
В скалярной форме
M i = r i F i sin(r i , F i).
Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .
Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .
Динамика вращательного движения
Уравнение динамики вращательного движения записывается так:
M = dL/dt.
Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.
Момент импульса и момент инерции
Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой
L i = m i υ i r i .
Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:
υ i = ωr i ,
то выражение для момента импульса примет вид
L i = m i r i 2 ω.
Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:
L i = I i ω.
Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:
L = Iω.
Момент силы и момент инерции
Закон вращательного движения гласит:
M = dL/dt.
Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:
L = Iω.
M = Idω/dt.
Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением
ε = dω/dt,
получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:
M = Iε.
Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.
Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции
Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,
где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.
Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).
В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы вокруг неподвижной оси 00 (рис. 30). Тогда все его точки описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение (в данный момент времени).
Разложим действующую силу на три взаимно перпендикулярные составляющие: (параллельную оси), (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и (перпендикулярную Очевидно, что вращение тела вызывает только составляющая являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Составляющие вращения не вызывают. Назовем вращающей силой. Как известно из школьного курса физики, действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния точки ее приложения А до оси вращения, т. е. зависит от момента силы. Моментом вращающей силы (вращающим моментом) называется произведение вращающей силы на радиус окружности описываемой точкой приложения силы:
Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы - элементарные массы. Хотя сила приложена к одной точке А тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила (см. рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,
где линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение (см. § 7), получим
Учитывая, что вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая
где момент инерции элементарной массы (материальной точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты приложенные ко всем элементарным массам, составляющим тело, получим
где вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент вращающей силы момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.
Теперь можно переписать формулу (3) в виде
Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй закон Ньютона для вращательного движения):
момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении, Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.
Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции является килограмм-квадратный метр
Если вращающий момент и момент инерции тела то формулу (4) можно представить в виде
Моментом
силы
относительно неподвижной точки
O
называется векторная физическая
величина, определяемая векторным
произведением радиус-вектора
,
проведённого из точки
O
в точку
A
приложения силы, на силу
(рис.1.4.1):
(1.4.1)
Здесь
– псевдовектор, его направление совпадает
с направлением движения правого винта
при его вращении от
к
.
Модуль момента силы
где
– угол между
и
,
– кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкойО
–плечо
силы
.
Моментом
силы относительно неподвижной оси
z
,
равная проекции на эту ось вектора
момента
силы, определённого относительно
произвольной точки
O
данной оси
z
(рис. 1.4.1).
Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
.
С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:
,
но
,
поэтому
,
или
.
Учитывая, что
,
получим
.
(1.4.2)
Получили основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:
,
где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
1.5 Момент импульса и закон его сохранения
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением :
(1.5.1)
где
– радиус-вектор, проведённый из точкиО
в точкуА
;
– импульс материальной точки (рис.
1.5.1).
– псевдовектор, его направление совпадает
с направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от
к
.
,
где
– угол между векторами
и
,
– плечо вектора
относительно точкиО
.
Моментом импульса
относительно неподвижной оси
z
называется скалярная величина
,
равная проекции на эту ось вектора
момента импульса, определённого
относительно произвольной точки
О
данной оси.
Значение момента импульса
не зависит от положения точкиО
на
осиz
.
При вращении абсолютно
твёрдого тела вокруг неподвижной оси
z
каждая отдельная
точка тела движется по окружности
постоянного радиусас некоторой скоростью
.
Скорость
и импульс
перпендикулярны этому радиусу, т.е.
радиус является плечом вектора
.
Поэтому можно записать, что момент
импульса отдельной частицы
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:
.
Используя формулу
,
получим
,
т.е.
. (1.5.2)
Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:
,
т.е.
.
(1.5.3)
Это выражение – ещё одна форма основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса механической системы (твёрдого тела) относительно оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси .
Можно показать, что
имеет место векторное равенство
.
В замкнутой системе
момент внешних сил
и
,
откуда
.
(1.5.4)
Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса : момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).
Таблица 1.5.1
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Функциональная зависимость |
|||
Линейное перемещение |
перемещение |
|
|
||
Линейная скорость |
|
скорость |
|
|
|
Линейное ускорение |
|
ускорение |
|
|
|
(для материальной точки) |
|||||
|
|
|
|||
|
импульса |
|
|
||
Основное уравнение динамики |
|||||
|
|
||||
Работа
|
Работа вращения |
||||
Кинетическая энергия |
Кинетическая энергия вращения |
||||
Закон сохранения импульса |
Закон сохранения момента импульса |
Основания и фундаменты рассчитывают по 2 предельным состояниям
По несущей способности: | N – заданная расчетная нагрузка на основание в наиболее невыгодной комбинации; - несущая способность (предельная нагрузка) основания для данного направления нагрузки N ; - коэффициент условий работы основания (<1); - коэффициент надежности (>1). | |
По предельным деформациям: | - расчетная абсолютная осадка фундамента; - расчетная относительная разность осадок фундаментов; , - предельные величины, соответственно абсолютной и относительной разности осадок фундаментов (СНиП 2.02.01-83*) |
Динамика вращательного движения
Предисловие
Обращаю внимание студентов на то, что ЭТОТ материал в школе не рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).
1. Закон динамики вращательного движения
a. Закон динамики вращательного движения
b. Момент силы
c. Момент пары сил
d. Момент инерции
2. Моменты инерции некоторых тел:
a. Кольцо (тонкостенный цилиндр)
b. Толстостенный цилиндр
c. Сплошной цилиндр
e. Тонкий стержень
3. Теорема Штейнера
4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса
5. Работа при вращательном движении
6. Кинетическая энергия вращения
7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения
1a. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δm i . Равнодействующую всех сил, приложенных к Δm i , обозначим через . Достаточно рассмотреть случай, когда сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:
Нормальная составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (1.27): ,где – радиус вращения i -той точки. Тогда
Умножим обе части (3.2) на :
Заметим, что
где α – угол между вектором силы и радиус-вектором точки (рис.3.1), – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Введём понятие момента силы .
1b. Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения. Размерность момента силы:
В векторной форме момент силы относительно точки:
Вектор момента силы перпендикулярен и силе, и радиус-вектору точки её приложения:
Если вектор силы перпендикулярен оси, то вектор момента силы направлен по оси по правилу правого винта, а величина момента силы относительно этой оси (проекция на ось) определяется формулой (3.4):
Момент силы зависит и от величины силы, и от плеча силы. Если сила параллельна оси, то .
1c. Пара сил – это две равные по величине и противоположные по направлению силы, линии действия которых не совпадают (рис.3.2). Плечо пары сил – это расстояние между линиями действия сил. Найдём суммарный момент пары сил и () в проекции на ось, проходящую через точку О:
То есть момент пары сил равен произведению величины силы на плкчо пары:
Вернёмся к (3.3). С учётом (3.4) и (3.6):
1d. Определение: скалярная величина , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:
Размерность момента инерции
Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (3.9) можно переписать в векторной форме:
Просуммируем (3.10) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:
Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (3.11) остается суммарный момент только внешних сил: .
Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:
Таким образом, ; – это и есть основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела (аналог второго закона Ньютона ): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела :
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).
В случае непрерывного распределения массы сумма в (3.12) сводится к интегралу по всему объему тела:
2a. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца.
поскольку для любого элемента кольца его расстояние до оси одинаково и равно радиусу кольца: .
2b. Толстостенный цилиндр (диск) с внутренним радиусом и внешним радиусом .
Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ , высотой h, внутренним радиусом и внешним радиусом (рис.3.3) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной и высотой так, что внутренний радиус кольца равен , внешний – . Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:
Подставим в (3.14) и проинтегрируем по r ():
Масса диска , тогда окончательно:
2c. Сплошной цилиндр (диск).
В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (3.17) R 1 =0, R 2 =R и получим:
Момент инерции шара радиуса R и массой относительно оси, проходящей через его центр (рис.3.4), равен (без доказательства):
2e. Момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню (рис.3.5).
Стержень разобьём на бесконечно малые участки длиной . Масса такого участка . Подставим в (3.14) и проинтегрируем от 0 до :
Если ось проходит через центр стержня перпендикулярно ему, можно рассчитать момент инерции половины стержня по (3.20) и затем удвоить:
3. Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис.3.6), вычисления по формуле (3.14) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I c тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
Посмотрим, как работает теорема Штейнера, если применить её к стержню:
Нетрудно убедиться, что получилось тождество, поскольку в этом случае расстояние между осями равно половине длины стержня .
4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса.
Из закона динамики вращательного движения и определения углового ускорения следует:
Если , то . Введём момент импульса твёрдого тела как
Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для вращательного движения. Его можно переписать так:
и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения в импульсной форме (2.5)
Выражение (3.24) можно проинтегрировать:
и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил . Величина называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы в формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2) ; момент импульса является аналогом импульса .
Размерность момента импульса
Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика.
Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис.3.6) – это:
где – радиус-вектор материальной точки, – её импульс. Вектор момента импульса направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента импульса
Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные массы и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):
Поскольку угловая скорость всех точек одинакова и направлена по оси вращения, то можно записать в векторной форме:
Таким образом, доказана эквивалентность определений (3.23) и (3.26).
Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы не изменяется (см.3.25):
. Это закон сохранения момента импульса . Это возможно, когда:
а) система замкнута (или );
б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось/центр вращения);
в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.
Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:
1. гироскоп;
2. скамья Жуковского;
3. фигуристка на льду.
5. Работа при вращательном движении.
Пусть тело повернулось на угол под действием силы и угол между перемещением и силой равен ; – радиус-вектор точки приложения силы (рис.3.8), тогда работа силы равна:
Момент силы
Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение
Радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.2.12). Единица измерения момента силы .
Рисунок 2.12
Величина момента силы
или можно записать
где - плечо силы (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).
Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу «правого винта» (векторы и параллельным переносом совмещаем в точке О, направление вектора определяется так, чтобы из его конца поворот от вектора к был виден против часовой стрелки – на рис 2.12 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас» (аналогично по правилу буравчика – поступательное движение соответствует направлению вектора , вращательное соответствует повороту от к )).
Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.
Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис. 2.13), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.
Рисунок 2.13
Момент импульса
Моментомимпульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение
Радиус-вектор материальной точки (рис. 2.14), - ее импульс.
Рисунок 2.14
Величина момента импульса материальной точки
где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .
Направление момента импульса определяется аналогично направлению момента силы.
Если выражение для L 0 умножить и разделить на l получим:
Где - момент инерции материальной точки - аналог массы во вращательном движении.
Угловая скорость.
Момент инерции твердого тела
Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR 2 , именуемая моментом инерции материальной точки .
Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 2.16). Сумма бесконечно малых – интеграл:
Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела . Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными (собственными) моментами инерции тела.
Главные моменты инерции некоторых тел приведены в табл.:
Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .
Основное уравнение динамики вращательного движения
Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела
Где F – сила, приложенная к телу массой m ; а – линейное ускорение тела.
Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 2.15) приложить силу F , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F 1 …F n . Для каждой материальной точки можно записать:
Где поэтому
Где m i – масса i- й точки; ε – угловое ускорение; r i – ее расстояние до оси вращения.
Умножая левую и правую части уравнения на r i , получаем
Где – момент силы – это произведение силы на ее плечо.
Рис. 2.15. Твердое тело, вращающееся под действием силы F около оси “ОО”
– момент инерции i -й материальной точки (аналог массы во вращательном движении).
Выражение можно записать так:
Просуммируем левую и правую части по всем точкам тела:
Уравнение – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F , сообщающий всем точкам тела ускорение ε. – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».
С другой стороны
В свою очередь - изменение момента импульса тела.
Тогда основной закон динамики вращательного движения можно переписать в виде:
Или - импульс момента силы , действующий на вращающееся тело, равен изменению его момента импульса .
Закон сохранения момента импульса
Аналогично ЗСИ.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения момент силы относительно оси Z: . Отсюда в замкнутой системе и, следовательно, – суммарный момент импульса относительно оси Z всех тел, входящих в замкнутую систему есть величина неизменная . Это выражает закон сохранения момента импульса . Этот закон действует только в инерциальных системах отсчёта.
Проведем аналогию между характеристиками поступательного движения и вращательного.