Как записать уравнение гармонических колебаний по графику. Основные формулы по физике - колебания и волны
«Физика - 11 класс»
Ускорение - вторая производная координаты по времени.
Мгновенная скорость точки - это производная координаты точки по времени.
Ускорение точки - это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.
Поэтому уравнение движения маятника можно записать так:
где х" - вторая производная координаты по времени.
При свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.
Гармонические колебания
Из математики: вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают.
Поэтому:
Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.
![](https://i2.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.2.jpg)
Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями .
Амплитуда колебаний
Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.
График зависимости координаты тела от времени представляет собой косинусоиду.
х = x m cos ω 0 t
Тогда уравнение движения, описывающее свободные колебания маятника:
![](https://i0.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.9.jpg)
Период и частота гармонических колебаний.
При колебаниях движения тела периодически повторяются.
Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний
.
Частота колебаний - это число колебаний в единицу времени.
Если одно колебание совершается за время Т то число колебаний за секунду
В Международной системе единиц (СИ) единица частоты называется герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.
Число колебаний за 2π с равно:
![](https://i1.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.11.jpg)
Величина ω 0 - это циклическая (или круговая) частота колебаний.
Через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.
Частоту свободных колебаний называют собственной частотой
колебательной системы.
Часто для краткости циклическую частоту называют просто частотой.
Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.
1. для пружинного маятника
Собственная частота колебаний пружинного маятника равна:
Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.
Жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела, а чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы.
Период колебаний равен:
![](https://i0.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.13.jpg)
Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.
2. для нитяного маятника
Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:
![](https://i1.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.14.jpg)
Период же этих колебаний равен
![](https://i0.wp.com/class-fizika.ru/images/10_11_class/11-1/24.15.jpg)
Период колебаний нитяного маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебаний.
Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит.
Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.
Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся черезопределенные промежутки времени.
Особенность колебаний - обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.
Параметры колебательного движения.
1. Смещение или координата (x ) – отклонение от положения равновесия в данный
момент времени. | [x ]= м | |
2. Амплитуда (Xm ) – максимальное отклонение от положения равновесия.
[ X m ]= м
3. Период колебаний (T ) – время, за которое совершается одно полное колебание.
[T ]= c.
0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">
Математический маятник
Пружинный маятник
m
https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src=">Частота (линейная) ( n) – число полных колебаний за 1 с.
[n]= Гц
5. Циклическая частота ( w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.
w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">
https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">
Тень на экране колеблется.
Уравнение и график гармонических колебаний.
Гармонические колебания -это колебания,при которых координата изменяется с течениемвремени по закону синуса или косинуса.
https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src=">x = X m sin (w t + j0 )
x = X m cos (w t + j0 )
x – координата,
Xm – амплитуда колебаний,
w – циклическая частота,
w t +j0 = j – фаза колебаний,
j0 – начальная фаза колебаний.
https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">
Графики отличаются только амплитудой
Графики отличаются только периодом (частотой)
https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">
Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими .
Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: E к + E п = E мех = const.
Собственные колебания незатухающие.
При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.
Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.
Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.
Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.
Резонан c
Резонансом
называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.
При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода - отрицательную.
При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.
В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.
Автоколебания.
Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.
В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.
От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:
1) колебательную систему;
2) источник энергии;
3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.
Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.
Имеют математическое выражение. Их свойства характеризует совокупность тригонометрических уравнений, сложность которых определяется сложностью самого колебательного процесса, свойствами системы и средой, в которой они происходят, т.е., внешними факторами, воздействующими на колебательный процесс.
Например, в механике гармоническое колебание представляет собой движение, которому свойственны:
Прямолинейный характер;
Неравномерность;
Перемещение физического тела, которое происходит по синусоидальной или косинусоидальной траектории, а зависимости от времени.
Исходя из данных свойств, можно привести уравнение гармонических колебаний, которое имеет вид:
x = A cos ωt или же вид x = A sin ωt, где х - значение координаты, А - значение амплитуды колебания, ω - коэффициент.
Такое уравнение гармонических колебаний является основным для всех гармонических колебаний, которые рассматриваются в кинематике и механике.
Показатель ωt, который в данной формуле стоит под знаком тригонометрической функции, именуют фазой, и она определяет местоположение колеблющейся материальной точки в данный конкретный момент времени при заданной амплитуде. При рассмотрении циклических колебаний данный показатель равен 2л, он показывает количество в пределах временного цикла и обозначается w. В этом случае уравнение гармонических колебаний содержит его как показатель величины циклической (круговой) частоты.
Рассматриваемое нами уравнение гармонических колебаний, как уже отмечалось, может принимать различные виды, в зависимости от ряда факторов. Например, вот такой вариант. Чтобы рассмотреть свободных гармонических колебаний, следует учитывать то, что им всем свойственно затухание. В различных это явление проявляется по-разному: остановка движущегося тела, прекращение излучения в электрических системах. Простейшим примером, показывающим уменьшение колебательного потенциала, выступает его преобразование в тепловую энергию.
Рассматриваемое уравнение имеет вид: d²s/dt² + 2β х ds/dt + ω²s = 0. В этой формуле: s - значение колеблющейся величины, которая характеризует свойства той или иной системы, β - константа, показывающая коэффициент затухания, ω - циклическая частота.
Использование такой формулы позволяет подходить к описанию колебательных процессов в линейных системах с единой точки зрения, а также производить конструирование и моделирование колебательных процессов на научно-экспериментальном уровне.
К примеру, известно, что на заключительном этапе своего проявления уже перестают быть гармоническими, то есть категории частоты и периода для них становятся просто бессмысленными и в формуле не отражаются.
Классическим способом исследования гармонических колебаний выступает В простейшем виде он представляет систему, которую описывает такое дифференциальное уравнение гармонических колебаний: ds/dt + ω²s = 0. Но многообразие колебательных процессов естественным образом приводит к тому, что существует большое количество осцилляторов. Перечислим их основные типы:
Пружинный осциллятор - обычный груз, обладающий некой массой m, который подвешен на упругой пружине. Он совершает гармонического типа, которые описываются формулой F = - kx.
Физический осциллятор (маятник) - твердое тело, совершающее колебательные движения вокруг статичной оси под воздействием определенной силы;
- (в природе практически не встречается). Он представляет собой идеальную модель системы, включающей колеблющееся физическое тело, обладающее определенной массой, которое подвешено на жесткой невесомой нити.
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:
где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;
Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.
Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:
Если за время t тело совершает N полных колебаний, то
Величину , показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой
.
Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:
Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).
На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .
Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:
где - амплитуда проекции скорости на ось х.
Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).
Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:
где - амплитуда проекции ускорения на ось х.
При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).
Аналогично можно построить графики зависимостей
§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы
Уравнение гармонических колебаний
где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент t .
Угловая частота колебаний
где ν и Т - частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
Ускорение при гармоническом колебании
Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле
где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.
Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы
Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν 1 и ν 2 ,
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальными фазами φ 1 и φ 2 ,
Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид
т. е. точка движется по прямой.
В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид
т. е. точка движется по эллипсу.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки
Или , где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),
где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника
где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси
колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
Приведенная длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний , или ,
где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ; ω 0 - собственная угловая частота колебаний *
Уравнение затухающих колебаний
где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.
Угловая частота затухающих колебаний
О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.
Логарифмический декремент колебаний
где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
где - внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F 0 - ее амплитудное значение;
Амплитуда вынужденных колебаний
Резонансная частота и резонансная амплитуда и
Примеры решения задач
Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если
x (0)= см и х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t =0.
Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:
Отсюда найдем начальную фазу:
* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).
Подставим
в это выражение заданные значения x
(0)
и А:
φ=
= .
Значению аргумента
удовлетворяют
два
значения угла:
Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет- воряет еще и условию , найдем сначала :
Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и , найдем
Так
как всегда A
>0
и ω>0,
то условию удовлетворяет
толь
ко
первое значение начальной фазы.
Таким
образом, искомая начальная
фаза
По найденному значению φ постро- им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т =5 г совершает гармоничес- кие колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Оп- ределить: 1) скорость υ точки в мо- мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу F max , действующую на точку; 3) Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ ки.
а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:
Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:
Решив последнее уравнение относительно υ, найдем
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением
Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.
2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:
где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:
Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим
Отсюда максимальное значение силы
Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем
3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.
Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии
Максимальную скорость определим из формулы (2), положив : . Подставив выражение скорости в фор- мулу (4), найдем
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим
или мкДж.
Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 г и m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-
дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.
Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением
где J - т - его масса; l С - расстояние от центра масс маятника до оси.
Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:
Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:
Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3 = = . Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического маятника:
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:
Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате центра масс маятника, т. е.
Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисления, найдем
Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:
Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром и массой т 1 . Горизонтальная ось Oz
маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.
Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле
где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.
Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:
Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму- ле . В данном случае т= 3т 1 и
Момент инерции обруча найдем, восполь- зовавшись теоремой Штейнера , где J - момент инерции относительно про- извольной оси; J 0 - момент инерции отно- сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту фор- мулу к обручу, получим
Подставив выражения J 1 и J 2 в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:
Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно
Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:
После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.
Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле- ния, выражаемых уравнениями ; х 2 = =, где А 1 = 1 см, A 2 =2 см, с, с, ω = =. 1. Определить начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих коле-
баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:
Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:
Рад и рад.
2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим
где - разность фаз составляющих колебаний. Так как , то, подставляя найденные значения φ 2 и φ 1 получим рад.
Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу (3) и произведем вычисления:
A = 2,65 см.
Тангенс
начальной фазы φ
результирующего колебания опреде-
лим
непосредственно из рис. 6.4:
, отку-
да
начальная фаза
Подставим значения А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 и произведем вычисления:
Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде , где A =2,65 см, , рад.
Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых
где a 1 = 1 см, A 2 =2 см, . Найти уравнение траектории точ- ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-
зуемся формулой . В данном случае , поэтому
Так
как согласно формуле (1)
,
то уравнение траекто-
рии
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.
Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:
X , СМ |
||||||
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2) (рис. 6.5).
Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В последующий момент времени, например при t 1 =l с, координаты точек изменятся и станут равными х (1)= -1 см, y( t)=0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент t 2 = 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.
Задачи
Кинематика гармонических колебаний
6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид , где ω=π с -1 , τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ колебаний.
6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ колебаний, заданных уравнением , где ω=2,5π с -1 , τ=0,4 с.
6.3. Точка совершает колебания по закону , где A х(0)=2 см и ; 2) х(0) =см и ; 3) х(0)=2см и ; 4) х(0)= и . Построить векторную диаграмму для момента t =0.
6.4. Точка совершает колебания.по закону , где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0) = 2 см и ; 2) x (0)= см и ; 3) х (0)= см и ; 4) x (0)=см и . Построить векторную диаграмму для момента t =0.