Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений
![Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/15/203280/image175.png)
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде
Где х - независимая переменная.
Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.
Графические методы используют геометрические построения.
Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.
Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.
Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.
Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную правой разностью. При этом значения функции узлах заменим значениями сеточной функции:
Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене на допускается погрешность.
Заметим, что из уравнения следует
Поэтому представляет собой приближенное нахождение значение функции в точке при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.
Полагая i=0, с помощью соотношения находим з значение сеточной функции при:
Требуемое здесь значение задано начальным условием, т.е.
Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/15/203280/image175.png)
Построенный алгоритм называется методом Эйлера
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/15/203280/image176.jpg)
Рисунок - 19 Метод Эйлера
Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x 0 ,y 0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х 0 к х 1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.
Введение
При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.
В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):
Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.
Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши дляОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:
где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .
Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций .
Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации).
Состав курсовой работы: Курсовая работа состоит из трех частей. В первой части краткое описание методов. Во второй части постановка и решение задачи. В третьей части – программная реализация на языке ЭВМ
Цель курсовой работы: изучить два метода решения дифференциальных уравнений-метод Эйлера-Коши и усовершенствованный методЭйлера.
1. Теоретическая часть
Численное дифференцирование
Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде
независимая переменная
Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения.
Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) порядка разрешенное относительно производной
Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция,которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.
Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши:
Найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3)
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).
Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.
Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.
Пусть дано уравнение (2) с начальным условием тоесть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами
Уравнение касательной имеет вид
Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :
Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке
. Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.
Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек
Получение таблицы значений искомой функции
по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы
Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера
Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решения получаются от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера самый простой представитель пошаговых методов. Особенностью любого пошагового метода является то, что начиная со второго шага исходное значение в формуле (5) само является приближенным, то есть погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает. Наиболее используемым методом оценки точности пошаговых методов приближенного численного решения ОДУ является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом и с шагом
1.1 Усовершенствованный метод Эйлера
Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:
А формула (5) получает вид
Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начало по формуле (5) находят значение
(8)
В точке а затем находится по формуле (7) с шагом
(9)
После
того как
найдено дальнейшие вычисления при
производится по формуле (7)
Численное решение дифференциальных уравнений
Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:
Где x – независимая переменная, - i-ая производная от искомой функции. n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .
Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.
Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.
Примеры постановки задачи Коши :
Примеры краевых задач :
Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.
Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка
Постановка задачи . Найти решение ОДУ первого порядка
На отрезке при условии
При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x 0 , x n ].
Целью является построение таблицы
x i |
x n |
|||
y i |
y n |
т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.
Интегрируя уравнение на отрезке , получим
Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка
,
то получим явную формулу Эйлера :
Порядок расчетов:
Зная , находим , затем т.д.
Геометрическая интерпретация метода Эйлера :
Пользуясь тем, что в точке x 0 известно решение y (x 0) = y 0 и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y (x 1) решенияy (x ) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x 1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x 2), получим приближенное значение y (x ) в точке x 2: и т.д. В итоге для i –й точки получим формулу Эйлера.
Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
Если
использовать формулу правых
прямоугольников: ,
то придем к методу
Этот метод называют неявным методом Эйлера , поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.
Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
В данном методе вычисление состоит из двух этапов:
Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p –го порядка заключается в получении приближений к значениям y (x i +1) по формуле вида
…………………………………………….
Здесь a n , b nj , p n , – некоторые фиксированные числа (параметры).
При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (a n , b nj , p n ) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности :
Пример . Решить задачу Коши:
Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.
Точное решение:
Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
Расчетные формулы метода Рунге – Кутта:
y1 – метод Эйлера, y2 – модифицированный метод Эйлера, y3 – метод Рунге Кутта.
Видно, что самым точным является метод Рунге – Кутта.
Численные методы решения систем ОДУ первого порядка
Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка
Введем вторую неизвестную функцию . Тогда задача Коши заменяется следующей:
Т.е. в терминах предыдущей задачи: .
Пример. Найти решение задачи Коши :
На отрезке .
Точное решение:
Действительно:
Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.
Введем функцию .
Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Метод Рунге – Кутта:
Схема Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Схема Рунге - Кутта:
Max(y-y теор)=4*10 -5
Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ
Постановка задачи : найти решение линейного дифференциального уравнения
удовлетворяющего краевым условиям:. (2)
Теорема. Пусть . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.
К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.
Основные этапы метода конечных разностей:
1) область непрерывного изменения аргумента () заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: .
2) Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. . Функция называется сеточной.
3) Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.
Аппроксимация производных.
Для аппроксимации (замены) первой производной можно воспользоваться формулами:
-
правая разностная производная,
-
левая разностная производная,
Центральная разностная производная.
т.е., возможно множество способов аппроксимации производной.
Все эти
определения следуют из понятия производной
как предела: .
Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:
Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка.
Определение. Погрешностью аппроксимации n- ой производной называется разность: .
Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.
Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:
Т.е. правая разностная производная имеет первый по h порядок аппроксимации.
Аналогично и для левой разностной производной.
Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации .
Аппроксимация второй производной по формуле (3) также имеет второй порядок аппроксимации.
Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (1), (2) и заменим в(1) производные:
В результате получим:
(4)
Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные заменены с порядком 2, а остальные – точно.
Итак, вместо дифференциальных уравнений (1), (2) получена система линейных уравнений для определения в узлах сетки.
Схему можно представить в виде:
т.е., получили систему линейных уравнений с матрицей:
Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все элементы, которые расположены не на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях равны нулю.
Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.
Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: .Решением этого уравнения является дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения (рис 1.) называетсяинтегральной кривой.
Производную в каждой точкеможно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.:.
Исходное уравнение определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие: , где – некоторое заданное значение аргумента, а–начальное значение функции.
Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения, т. е. для.
Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Точкиназываютсяузлами сетки , а величина – шагом сетки. Часто рассматриваютравномерные сетки, для которых шаг постоянен,. При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сеткисоответствуют приближенные значения функциив узлах сетки.
Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.
Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть – решение задачи Коши. Назовем погрешностью численного метода функцию , заданную в узлах сетки. В качестве абсолютной погрешности примем величину.
Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся , если для него при. Говорят, что метод имеет-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка, – константа, .
Метод Эйлера
Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши
на отрезке . Выберем шаги построим сетку с системой узлов. В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функциив узлах сетки:. Заменив производнуюконечными разностями на отрезках,, получим приближенное равенство:,, которое можно переписать так:,.
Эти формулы и начальное условие являются расчетными формулами метода Эйлера.
Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке заменяется касательной, проведенной в точкек интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполненияшагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией(ломаной Эйлера).
Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям:
.
Тогда
для метода Эйлера справедлива следующая
оценка погрешности:
,
где– длина отрезка.
Мы видим, что метод Эйлера имеет первый
порядок точности.
Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции . Грубую оценку погрешности даетправило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть– приближения, полученные с шагом, а– приближения, полученные с шагом. Тогда справедливо приближенное равенство:
.
Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагоми вычислить величину, стоящую справа в последней формуле, т.е.. Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е., то приближенное равенство имеет вид:.
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью . Для этого нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение,. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Для метода Эйлера это условие примет вид:. Приближенным решением будут значения,.
Пример 1. Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши:,. Возьмем шаг. Тогда.
Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:
,
.
Решение представим в виде таблицы 1:
Таблица 1
Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .
Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы 2:
Таблица 2
Из таблицы видно, что погрешность составляет
Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Материалы к лекционному
курсу
Лектор – ст. преп. Щербаков
И.Н.
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Постановка задачи
При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):
Здесь y (n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.
В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):
Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ.
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно функции y(x) и всех ее производных.
Например, ниже приведены линейные ОДУ первого и второго порядков
Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения .
Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C 1 , C 2 , …, C n
Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования
Так как для решения ДУ n -го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.
Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.
Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.
Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n -го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):
Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y .
Множество значений абсцисс в которых определяется значение функции, называют сеткой , на которой определена функция y(x) . Сами координаты при этом называют узлами сетки . Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки , в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения
Или , i = 1, …, N
Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n . Для уравнений первого порядка – одно, для второго - 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:
· Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке :
то есть, задано определенное значение независимой переменной (х 0) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х 0) называется начальной . Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x 0 , y 0)
Такого рода задача встречается при решении ОДУ , которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0 ) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t ) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.
· Краевая задача . В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными ) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):
· Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.
Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка
Рассмотрим некоторые численные методы решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):
(6.2)
Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x 0 .
Преобразуем уравнение умножением на d x
И проинтегрируем левую и правую части между i -ым и i+ 1-ым узлами сетки.
(6.3)
Мы получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i -ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.
Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим методы , и . Они достаточно просты и дают начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения .
Метод Эйлера
Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y ) и независимой (x ) переменных между узлами равномерной сетки:
где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .
Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y i+1 , если известно y i в точке х i :
Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.
Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения () следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=x i - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=x i .
Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти
откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=x i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования:
Ошибка ~ h
Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x 0 и y 0 можно вычислить
Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h ) по x на отрезке . Ошибка в определении значения y(x i) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).
При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок слишком велик, то каждый участок разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.
Пример:
Используя метод Эйлера, построить приближенное решение для следующей задачи Коши:
На сетке с шагом
0,1 в интервале (6.5)
Решение:
Данное уравнение уже записано в стандартном виде, резрешенном относительно производной искомой функции.
Поэтому, для решаемого уравнения имеем
Примем шаг интегрирования равным шагу сетки h = 0,1. При этом для каждого узла сетки будет вычислено только одно значение (N=1 ). Для первых четырех узлов сетки вычисления будут следующими:
Полные результаты (с точностью до пятого знака после
запятой) приведены в в третьей колонке - h
=0,1 (N
=1). Во второй колонке
таблицы для сравнения приведены значения, вычисленные по аналитическому решению
данного уравнения .
Во второй части таблицы приведена относительная погрешность полученных решений. Видно, что при h =0,1 погрешность весьма велика, достигая 100% для первого узла x =0,1.
Таблица 1 Решение уравнения методом Эйлера (для колонок указан шаг интегрирования и число отрезков интегрирования N между узлами сетки)
x | Точное решение | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | ||
0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 |
0,1 | 0,004837 | 0,000000 | 0,002500 | 0,003688 | 0,004554 | 0,004767 | 0,004802 | 0,004829 |
0,2 | 0,018731 | 0,010000 | 0,014506 | 0,016652 | 0,018217 | 0,018603 | 0,018667 | 0,018715 |
0,3 | 0,040818 | 0,029000 | 0,035092 | 0,037998 | 0,040121 | 0,040644 | 0,040731 | 0,040797 |
0,4 | 0,070320 | 0,056100 | 0,063420 | 0,066920 | 0,069479 | 0,070110 | 0,070215 | 0,070294 |
0,5 | 0,106531 | 0,090490 | 0,098737 | 0,102688 | 0,105580 | 0,106294 | 0,106412 | 0,106501 |
0,6 | 0,148812 | 0,131441 | 0,140360 | 0,144642 | 0,147779 | 0,148554 | 0,148683 | 0,148779 |
0,7 | 0,196585 | 0,178297 | 0,187675 | 0,192186 | 0,195496 | 0,196314 | 0,196449 | 0,196551 |
0,8 | 0,249329 | 0,230467 | 0,240127 | 0,244783 | 0,248202 | 0,249048 | 0,249188 | 0,249294 |
0,9 | 0,306570 | 0,287420 | 0,297214 | 0,301945 | 0,305423 | 0,306284 | 0,306427 | 0,306534 |
1 | 0,367879 | 0,348678 | 0,358486 | 0,363232 | 0,366727 | 0,367592 | 0,367736 | 0,367844 |
Относительные погрешности вычисленных значений функции при различных h |
||||||||
x | h | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
N | 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | |
0,1 | 100,00% | 48,32% | 23,76% | 5,87% | 1,46% | 0,73% | 0,18% | |
0,2 | 46,61% | 22,55% | 11,10% | 2,74% | 0,68% | 0,34% | 0,09% | |
0,3 | 28,95% | 14,03% | 6,91% | 1,71% | 0,43% | 0,21% | 0,05% | |
0,4 | 20,22% | 9,81% | 4,83% | 1,20% | 0,30% | 0,15% | 0,04% | |
0,5 | 15,06% | 7,32% | 3,61% | 0,89% | 0,22% | 0,11% | 0,03% | |
0,6 | 11,67% | 5,68% | 2,80% | 0,69% | 0,17% | 0,09% | 0,02% | |
0,7 | 9,30% | 4,53% | 2,24% | 0,55% | 0,14% | 0,07% | 0,02% | |
0,8 | 7,57% | 3,69% | 1,82% | 0,45% | 0,11% | 0,06% | 0,01% | |
0,9 | 6,25% | 3,05% | 1,51% | 0,37% | 0,09% | 0,05% | 0,01% | |
1 | 5,22% | 2,55% | 1,26% | 0,31% | 0,08% | 0,04% | 0,01% |
Уменьшим шаг интегрирования вдвое, h = 0.05, в этом случае для каждого узла сетки вычисление будет проводиться за два шага (N =2). Так, для первого узла x =0,1 получим:
(6.6)
Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначи и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы :
,
которое затем использовать при вычислении по (6.6).
Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений
(6.7)
Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.
Ошибка ~ h 2
Подход, использованный в методе Гюна, используется для построения так называемых методов прогноза и коррекции , которые будут рассмотрены позже.
Пример:
Проведем вычисления для уравения () с помощью метода Гюна.
При шаге интегрирования h =0,1 в первом узле сетки x 1 получим:
Что намного точнее значения, полученного методом Эйлера при том же шаге интегрирования. В таблице 2 ниже приведены сравнительные результаты вычислений при h = 0,1 методов Эйлера и Гюна.
Таблица 2 Решение уравнения методами Эйлера и Гюна
x | Точное | Метод Гюна | Метод Эйлера | ||
---|---|---|---|---|---|
y | отн. погрешность | y | отн. погрешность | ||
0 | 0,000000 | 0,00000 | 0,00000 | ||
0,1 | 0,004837 | 0,00500 | 3,36% | 0,00000 | 100,00% |
0,2 | 0,018731 | 0,01903 | 1,57% | 0,01000 | 46,61% |
0,3 | 0,040818 | 0,04122 | 0,98% | 0,02900 | 28,95% |
0,4 | 0,070320 | 0,07080 | 0,69% | 0,05610 | 20,22% |
0,5 | 0,106531 | 0,10708 | 0,51% | 0,09049 | 15,06% |
0,6 | 0,148812 | 0,14940 | 0,40% | 0,13144 | 11,67% |
0,7 | 0,196585 | 0,19721 | 0,32% | 0,17830 | 9,30% |
0,8 | 0,249329 | 0,24998 | 0,26% | 0,23047 | 7,57% |
0,9 | 0,306570 | 0,30723 | 0,21% | 0,28742 | 6,25% |
1 | 0,367879 | 0,36854 | 0,18% | 0,34868 | 5,22% |
Отметим существенное увеличение точности вычислений метода Гюна по сравнению с методом Эйлера. Так, для узла x =0,1 относительное отклонение значения функции, определенного методом Гюна, оказывается в 30 (!) раз меньше. Такая же точность вычислений по формуле Эйлера достигается при числе отрезков интегрирования N примерно 30. Следовательно, при использовании метода Гюна при одинаковой точности вычислений понадобится примерно в 15 раз меньше времени ЭВМ, чем при использовании метода Эйлера.
Проверка устойчивости решения
Решение ОДУ в некоторой точке x i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y i ) – с шагом интегрирования h и при уменьшенной (например, двое) величине шага
В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования (ε – наперед заданная малая величина)
Такая проверка может осуществляться и для всех решений на всем интервале значений x . Если условие не выполняется, то шаг снова делится пополам и находится новое решение и т.д. до получения устойчивого решения.
Методы Рунге-Кутты
Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении .
Мы уже видели, какое преимущество дает переход от интегрирования по формуле прямоугольников () к использованию формулы трапеций () при аппроксимации этого интеграла.
Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона , можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.
Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ - функции F(x,y ). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x 1 , x 2 , …, x k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода