Абсолютное движение. Абсолютная, относительная и переносная скорости Абсолютное и относительное движение точки
![Абсолютное движение. Абсолютная, относительная и переносная скорости Абсолютное и относительное движение точки](https://i0.wp.com/konspekta.net/poisk-ruru/baza3/1993207295111.files/image031.gif)
Сложное движение точки
Основные понятия
Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга.
В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения.
Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга. Одну систему отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 примем за основную и неподвижную. Вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой.
Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие как, траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом r .
Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Их обозначают без индекса.
Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают индексом e .
Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке, то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения.
Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.
Сложение скоростей
Определим скорость абсолютного движения точки М, если известны скорости абсолютного и переносного движений этой точки.
За малый промежуток времени вдоль траектории точка М совершит относительное перемещение, определяемое вектором . Сама кривая , двигаясь вместе с подвижными осями, перейдет за тот же промежуток времени в новое положение Одновременно та точка кривой , с которой совпадала точка М, совершит переносное перемещение . В результате точка совершит перемещение .
Деля обе части равенства на и переходя к пределу, получим
Сложение ускорений при поступательном переносном движении.
Определим ускорение абсолютного движения точки в частном случае поступательного переносного движения.
Справедлива теорема . Если подвижная система отсчета движется поступательно относительно неподвижной , то все точки тела, скрепленного с этой системой, имеют одинаковые скорости и ускорения, равные скорости и ускорению начала координат подвижной системы О. Следовательно, для скорости и ускорения переносного движения имеем
Выразим относительную скорость в декартовых координатах
Подставляя в теорему о сложении скоростей значения переносной и относительной скоростей получаем
По определению
СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки
В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.
Введем следующие определения:
1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.
2. Движение точки относительно подвижной системы координат O 1 ξηζ называется населенным.
3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О 1 ξηζ , относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.
Таким образом, переносное движение вызвано движением подвижной системы координат по отношению к неподвижной. В приведенном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О 1 ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.
Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив координаты точки х, у,z как функции времени:
х=х(t ), у = у(t ), z = z (t ).
Уравнения относительного движения точки имеют вид
ξ = ξ (t ), η = η (t), ζ = ζ (t ).
В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравнения абсолютной траектории, а уравнения (11.77) - соответственно уравнения относительной траектории.
Различают также абсолютную, переносную и относительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсолютную скорость обозначают υ a , относительную - υ r , переносную - υ е Соответственно ускорения обозначают: ω а , ω r и ω е .
Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и подвижной.
Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускорений в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.
Теорема о сложении скоростей
Теорема . При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ a равна векторной сумме относительной υ r и переносной υ е скоростей.
Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы координат Оξηζ через ω . Положение точки М определяется радиусом-вектором r .
Установим соотношение между скоростями точки М по отношению к двум системам координат - неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы
Из кинематики точки известно, что первая производная от радиуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ а - абсолютная скорость, =υ r - относительная скорость,
а ω xr = υ е - переносная скорость точки М. Следовательно,
υ а = υ r + υ е
Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:
В некоторых задачах кинематики требуется определить относительную скорость υ r . Из (11.79) следует
υ r = υ а +(- υ е) .
Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с вектором, равным по абсолютной величине, но противоположно направленным переносной скорости.
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета которую называем основной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними).
Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуz называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении можно движение осей во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе является для точки М переносным движением.
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ипер), а ускорение этой точки - переносным ускорением точки М (обозначается арер). Таким образом,
Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).
В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.
Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перейдем.
![](https://i2.wp.com/scask.ru/advertCommon/france.jpg)
Сложное движение точки-это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.
Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Оxyz, которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета О 1 х 1 у 1 z 1 , которую условно будем называть неподвижной (рис. 10.1).
Движение точки М по отношению к подвижным осям координат называется относительным движением. Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью и относительным ускорением. Эти величины будем обозначать и .
Переносным называется движение относительно неподвижной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Следовательно, переносной скоростью и переносным ускорением будем считать скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Переносную скорость и переносное ускорение обозначаем и .
Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением. Эти величины обозначаются и .
Если точка одновременно участвует в относительном и переносном движениях, то ее абсолютное движение называют сложным, а ее относительное и переносное движения называются составляющими движениями.
10.2. Скорость точки в абсолютном, относительном и переносном движениях
Если точка М участвует в сложном движении, то справедлива теорема, согласно которой абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости этой точки:
Для определения переносной скорости мысленно останавливается относительное движение и переносная скорость вычисляется по правилам кинематики твердого тела, т. е. как скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпала движущаяся точка.
Для определения относительной скорости точки следует мысленно остановить переносное движение и вычислить относительную скорость по правилам кинематики точки.
|
С помощью уравнения (10.1) величину абсолютной скорости можно определить геометрически и аналитически. Для геометрического метода решения данной задачи можно построить замкнутый треугольник скоростей (рис. 10.2, а) или параллелограмм скоростей (рис. 10.2, б).
Тогда абсолютная скорость определяется формулами
(10.2)
или , (10.3)
где β и γ- углы, образуемые вектором с векторами и .
При применении метода проекций достаточно выбрать оси координат и спроектировать равенство (10.1) на эти оси.
Общая постановка задачи об относительном движении такова: движение точки определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами (системами отсчета), причем эти системы движутся заданным образом друг по отношению к другу. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движения: траекторию, скорость и ускорение в своей системе отсчета. Ставится задача: зная движение одной системы отсчета по отношению к другой, найти связь между кинематическими элементами движения точки по отношению к каждой системе в отдельности. Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся друг по отношению к другу системах координат: Oxyz , и![](https://i2.wp.com/poznayka.org/baza1/1882148785.files/image368.png)
![](https://i2.wp.com/poznayka.org/baza1/1882148785.files/image369.png)
Введем понятие переносного движения, элементы которого будем обозначать подстрочным индексом «е ». Переносным движением точки будем называть движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта относительной системы, через который в рассматриваемый момент времени проходит движущаяся точка. Понятие переносного движения нуждается в пояснении. Необходимо четко различать точку, абсолютное и относительное движение которой рассматривается, от той, неизменно связанной с относительной системой точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. Обычно та и другая точка обозначены одной буквой М , так как рисунок не передает движения; на самом деле это две различные точки, движущиеся друг по отношению к другу.
Остановимся на двух иллюстрациях понятия переносного движения. Если человек идет по движущейся платформе, то можно рассматривать, во-первых, «абсолютное» движение человека по отношению к земле, во-вторых, «относительное» его движение по платформе. Переносным движением при этом будет являться движение по отношению к земле того места платформы, по которому проходит в данный момент человек.