Куда и когда Чеширский Кот перемещается по сюжету сказки?

Никакой клиники в сказке Льюиса Кэрролла нет - видимо, вам встретилась реклама реальной организации, которая просто взяла себе такое запоминающееся название, никак не связанное с сюжетом книги. Имя Чеширский Кот популярно само по себе, поэтому его нередко используют для кафе, магазинов и даже клиник, к оригинальному тексту это отношения не имеет.

В самой книге кот появляется впервые на кухне Герцогини, где сидит у очага и ухмыляется, пока вокруг творится хаос с перцем и летающими кастрюлями. Дальше он встречается Алисе уже в лесу, сидящим на ветке дерева, откуда указывает ей дорогу к Шляпнику и Мартовскому Зайцу. Последний раз он появляется на площадке для крокета, зависая в воздухе одной улыбкой, после спора Королевы с палачом.

Так что перемещения у него в книге действительно есть - кухня, лес, площадка для крокета - но это литературный сюжет, а не история какого-то реального бизнеса с похожим названием.

Если вам важно найти именно ту компанию из интернета, лучше поискать по полному названию и городу отдельно от имени сказочного персонажа - поисковики часто путают такие совпадения и подмешивают статьи про Кэрролла в выдачу по совсем другому запросу.