Как на самом деле зовут Чеширского кота?

Отдельного имени у него в книге нет - "Чеширский Кот" (Cheshire Cat) это и есть его полное обозначение, причём слово "чеширский" здесь не имя собственное вроде клички, а указание на графство Чешир в Англии, с которым связана старая поговорка про улыбающегося кота.

Так что если ребёнок спрашивает, а зовут его как, честный ответ такой: у него нет личного имени в духе Барсика или Мурзика, он и есть Чеширский Кот, это его единственное и полное название в тексте.

Для урока можно провести параллель: в русских сказках похожая ситуация с Котом Баюном или Жар-птицей - это не имена, а названия-характеристики персонажа. С Чеширским Котом та же логика, только на английском материале.

Кстати, само выражение "улыбаться, как чеширский кот" в английском языке встречалось ещё в XVIII веке, задолго до выхода "Алисы" в 1865 году. Кэрролл не сочинял его с нуля, а взял готовый образ и подарил ему тело, вернее, почти лишил тела, оставив одну улыбку в воздухе.