Как правильно пишется имя Винни-Пух?

Правильно через дефис и с двумя заглавными буквами: Винни-Пух. Так писал Борис Заходер в своём пересказе, так имя закреплено и в современных изданиях.

Слитное написание "Виннипух" - частая ошибка, она идёт из устной речи, где имя произносится слитно, без паузы на дефисе. На письме дефис обязателен, как в любом составном имени.

Стоит отличать русское имя от английского оригинала. У Алана Милна медвежонка зовут Winnie-the-Pooh, с артиклем the внутри имени. Заходер убрал артикль при переводе, и получилось "Винни-Пух" - имя, которое давно живёт в русском языке само по себе, отдельно от оригинала.

Кстати, само слово "Пух" в имени - тоже находка Заходера, а не дословный перевод. У Милна кличка Pooh связана с прозвищем лебедя из его более ранних стихов и с английским восклицанием, а с "пухом" в смысле "перья" или "вата в игрушке" никак не связана. Заходер выбрал слово "Пух", потому что оно похоже по звучанию на английское Pooh и при этом отлично подходит плюшевому мишке, набитому опилками. Так в русском имени неожиданно совпали и звук, и смысл.

Дефис сохраняется во всех падежах: "про Винни-Пуха", "с Винни-Пухом", "о Винни-Пухе". Для подписи к рисунку смело берите этот вариант.