В чем измеряется момент инерции плоской фигуры. Центробежный момент инерции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:
Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:
Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.
Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.
Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.
Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:
где - момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; - площадь сечения; - расстояние между осями.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .
|
Решение | Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что:
Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна: Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде: |
Ответ |
ПРИМЕР 2
Задание | Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.
|
Решение | Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как: |
Рассмотрим
еще несколько геометрических характеристик
плоских фигур. Одна из этих характеристик
носит название осевого
или экваториального
момента инерции. Эта характеристика
относительно осей
и
(Рис.4.1) принимает вид:
;
. (4.4)
Основным
свойством осевого момента инерции
является то, что он не может быть меньше
нуля или равным нулю. Этот момент инерции
всегда больше нуля:
;
.
Единица измерения осевого момента
инерции – (длина 4).
Соединим
отрезком прямой линии начало координат
с бесконечно малой площадью
и обозначим этот отрезок буквой(Рис.4.4). Момент инерции фигуры относительно
полюса – начала координат – называется
полярным моментом инерции:
.
(4.5)
Этот
момент инерции так же, как и осевой,
всегда больше нуля (
)
и имеет размерность – (длина 4).
Запишем
условие
инвариантности
суммы экваториальных моментов инерции
относительно двух взаимно перепендикулярных
осей. Из рис.4.4 видно, что
.
Подставим это выражение в формулу (4.5), получим:
Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпедикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.
Момент инерции плоской фигуры относительно одновременно двух взаимно перепендикулярных осей называется двухосным или центробежным моментом инерции. Центробежный момент инерции имеет следующий вид:
. (4.7)
Центробежный момент инерции имеет размерность – (длина 4). Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называютсяглавными осями инерции . Докажем, что ось симметрии плоской фигуры является главной осью.
Рассмотрим плоскую фигуру, изображенную на рис.4.5.
Выберем
слева и справа от оси симметрии
два элемента с бесконечно малой площадью
.
Центр тяжести всей фигуры находится в
точке С. Поместим начало координат в
точку С и обозначим координаты выбранных
элементов по вертикали буквой“”,
по горизонтали – для левого элемента
“
”,
для правого элемента “”.
Вычислим сумму центробежных моментов
инерции для выбранных элементов с
бесконечно малой площадью относительно
осей
и:
Если проинтегрировать выражение (4.8) слева и справа, получим:
, (4.9)
так как, если ось является осью симметрии, то для любой точки, лежащей слева от этой оси, всегда найдется ей симметричная.
Анализируя полученное решение, приходим к выводу, что ось симметрии является главной осью инерции. Центральная осьтакже является главной осью, хотя она и не является осью симметрии, так как центробежный момент инерции вычислялся одновременно двух осейии оказался равным нулю.
Допустим, что имеется система координат с началом в точке O и осями OX; OY; OZ. По отношению к данным осям центробежными моментами инерции (произведениями инерции) называются величины , которые определяются равенствами:
где - массы материальных точек, на которые разбивают тело; - координаты соответствующих материальных точек.
Центробежный момент инерции обладает свойством симметрии, это следует из его определения:
Центробежные моменты тела могут быть положительными и отрицательными, при определённом выборе осей OXYZ они могут обращаться в ноль.
Для центробежных моментов инерции существует аналог теоремы Штейнберга. Если рассмотреть две системы координат: и . Одна из этих систем имеет начало координат в центе масс тела (точка C), оси систем координат являются попарно параллельными (). Пусть в системе координат координатами центра масс тела являются (), тогда:
где - масса тела.
Главные оси инерции тела
Пусть однородное тело имеет ось симметрии. Построим координатные оси так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси симметрии тела. Тогда, как следствие симметрии каждой точке тела с массой и координатами соответствует точка, имеющая другой индекс, но такую же массу и координаты: . В результате получаем, что:
так как в данных суммах все слагаемые имеют свою равную по величине, но противоположную по знаку пару. Выражения (4) эквивалентны записи:
Мы получили, что осевая симметрия распределения масс по отношению к оси OZ характеризуется равенством нулю двух центробежных моментов инерции (5), которые содержат среди своих индексов наименование этой оси. В таком случае ось OZ называется главной осью инерции тела для точки О.
Главная ось инерции не всегда является осью симметрии тела. Если тело обладает плоскостью симметрии, то любая ось, которая перпендикулярна этой плоскости, является главной осью инерции для точки O, в которой ось пересекает рассматриваемую плоскость. Равенства (5) отображают условия того, что ось OZ является главной осью инерции тела для точки O (начала координат). Если выполняются условия:
то ось OY будет для точки O главной осью инерции.
В том случае, если выполняются равенства:
то все три координатные оси системы координат OXYZ являются главными осями инерции тела для начала координат.
Моменты инерции тела по отношению к главным осям инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, которые построены для центра масс тела, носят название главных центральных осей инерции тела.
Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных центральных осей инерции тела, поскольку центр масс находится на этой оси. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то ось, нормальная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела является одной из главных центральных осей инерции тела.
Понятие главных осей инерции в динамике твердого тела имеет существенное значение. Если вдоль них направить оси координат OXYZ, то все центробежные моменты инерции становятся равными нулю, при этом значительно упрощаются формулы, которые следует применять при решении задач динамики. С понятием о главных осях инерции связано решение задач о динамическом уравнении тела находящегося во вращении и о центре удара.
Момент инерции тела (и центробежный в том числе) в международной системем единиц измеряются в:
Центробежный момент инерции сечения
Центробежным моментом инерции сечения (плоской фигуры) относительно двух взаимно нормальных осей (OX и OY) называют величину, равную:
выражение (8) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.
Единицей измерения моментов инерции сечения в СИ является:
Центробежный момент инерции сложного сечения по отношению к любым двум взаимно нормальным осям равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих осей.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Получите выражение для центробежного момента инерции прямоугольного сечения относительно осей (X,Y). |
Решение | Сделаем рисунок.
Для определения центробежного момента инерции выделим из имеющегося прямоугольника элемент его площади (рис.1) , площадь которой равна: На первом этапе решения задачи найдем центробежный момент инерции () вертикальной полосы, имеющей высоту и ширину , которая находится на расстоянии от оси Y (учтем, что при интегрировании для всех площадок в избранной вертикальной полоске величина является постоянной): |
произведение инерции, одна из величин, характеризующих распределение масс в теле (механической системе). Ц. м. и. вычисляются как суммы произведений масс m к точек тела (системы) на две из координат x k , у к, z k этих точек:
Значения Ц. м. и. зависят от направлений координатных осей. При этом для каждой точки тела существуют по крайней мере три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых Ц. м. и. равны нулю.
Понятие Ц. м. и. играет важную роль при изучении вращательного движения тел. От значений Ц. м. и. зависят величины сил давления на подшипники, в которые закреплена ось вращающегося тела. Эти давления будут наименьшими (равны статическим), если ось вращения является главной осью инерции, проходящей через центр масс тела.
- -  ...
Физическая энциклопедия
- -  ...
Физическая энциклопедия
- - см. Эфферентный...
Большая психологическая энциклопедия
- - геометрическая характеристика поперечного сечения открытого тонкостенного стержня, равная сумме произведений элементарных площадок сечений на квадраты секториальных площадей - секторен инерционен момент -...
Строительный словарь
- - геометрическая характеристика поперечного сечения стержня, равная сумме произведений элементарных площадок сечения на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси - инерционен момент - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Строительный словарь
- - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные М. и. Осевой М. и. равен сумме произведений...
- - главные, три взаимно перпендикулярные оси, к-рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- - ось в плоскости поперечного сечения твёрдого тела, относительно которой определяется момент инерции сечения - инерционна ос - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - инерцийн тэнхлэг - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - eje...
Строительный словарь
- - момент времени, в который продукция, отгруженная покупателю, считается реализованной...
Энциклопедический словарь экономики и права
- - понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные...
- - главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую-нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно...
Большая Советская энциклопедия
- - произведение инерции, одна из величин, характеризующих распределение масс в теле...
Большая Советская энциклопедия
- - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции...
- - главные - три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при...
Большой энциклопедический словарь
- - ...
Формы слова
"Центробежный момент инерции" в книгах
Вопреки инерции
Из книги Сфинксы XX века автора Петров Рэм ВикторовичВопреки инерции
Из книги Сфинксы XX века автора Петров Рэм ВикторовичВопреки инерции «В последние два десятилетия иммунологическая природа отторжения тканевых трансплантатов стала общепризнанной и все аспекты процессов отторжения находятся под жестким экспериментальным контролем». Лесли Брент Отпечатки пальцев Итак, на вопрос «Что
По инерции
Из книги Сколько стоит человек. Повесть о пережитом в 12 тетрадях и 6 томах. автораПо инерции
Из книги Сколько стоит человек. Тетрадь десятая: Под «крылышком» шахты автора Керсновская Евфросиния АнтоновнаПо инерции Чтобы оценить пейзаж, надо посмотреть на картину с некоторого расстояния. Чтобы правильно оценить то или иное событие, также нужна известная дистанция. Действовал закон инерции. Пока дух перемен дошел до Норильска, еще долгое время казалось, что все скользит по
24. Сила Инерции
Из книги Эфирная механика автора Данина Татьяна24. Сила Инерции Эфир, испускаемый задним полушарием инерционно движущейся частицы, это и есть Сила Инерции. Эта Сила Инерции – это отталкивание Эфира, заполняющего частицу, Эфиром, испускаемым ею самой.Величина Инерционной Силы пропорциональна скорости испускания
3.3.1. Погружной центробежный насос
Из книги Сам себе сантехник. Сантехнические дачные коммуникации автора Кашкаров Андрей Петрович3.3.1. Погружной центробежный насос В этом разделе рассмотрим вариант с погружным центробежным насосом НПЦ-750.Водой из ключа я пользуюсь с апреля по октябрь. Закачиваю ее погружным центробежным насосом НПЦ-750/5нк (первая цифра указывает на потребляемую мощность в ваттах,
Если через точку О провести координатные оси , то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины определяемые равенствами:
где - массы точек; - их координаты; при этом очевидно, что и т. д.
Для сплошных тел формулы (10) по аналогии с (5) принимают вид
В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях могут обращаться в нули.
Главные оси инерции. Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Охуz так, чтобы ось была направлена вдоль оси симметрии (рис. 279). Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой тк и координатами будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными . В результате получим, что так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по знаку; отсюда, учитывая равенства (10), находим:
Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси z характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции . Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О.
Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки.
Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии (на рис. 279 плоскостью симметрии тела является плоскость ). Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси и перпендикулярную им ось Тогда в силу симметрии каждой точке с массой и координатами будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными . В результате, как и в предыдущем случае, найдем, что или откуда следует, что ось является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.
Равенства (11) выражают условия того, что ось является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).
Аналогино, если то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.
то каждая из координатных осей является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).
Например, на рис. 279 все три оси являются для точки О главными осями инерции (ось как ось симметрии, а оси Ох и Оу как перпендикулярные плоскостям симметрии).
Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из доказанного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.
В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (11), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.
Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. § 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. § 136), о центре удара (см. § 157) и др.