Множество всех возможных значений случайной величины называется. Случайные величины
Дискретная случайная величина и закон ее распределения
Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины .
Определение. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y, Z,… ), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x i , y i ,… ).
Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений герба при 10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.
Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно (соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин получаем множество значений из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.
Определение. дискретной , если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Определение. Случайная величина называется непрерывной , если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.
Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения :
x i | x 1 | x 2 | … | x n | … | возможные значения |
p i | p 1 | p 2 | … | p n | … | вероятность возможных значений |
Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому или
Задача. Монету бросают 5 раз. Случайная величина X – количество выпадения герба. Составить ряд распределения случайной величины Х.
Решение. Очевидно, что Х может принимать 5 значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, то есть X = 0, 1, 2, 3, 4, 5. По условию , . Вычислим вероятность каждого значения по формуле Бернулли: .
Герб не выпадет ни разу (k = 0) : .
Или .
Герб выпадет один раз (k = 1)
:
.
Герб выпадет два раза (k = 2) :
Герб выпадет три раза (k = 3) :
Герб выпадет четыре раза (k = 4) :
Герб выпадет пять раз (k = 5) :
Следовательно, ряд распределения имеет вид:
биномиальные вероятности |
При этом сумма вероятностей равна единице:
Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x i , p i ). То есть по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
В ситуации риска нам известны исходы той или иной альтернативы и вероятности, с которыми данные исходы могут наступить. То есть нам известно вероятностное распределение исходов, поэтому они могут быть представлены (смоделированы) в виде случайной величины . В этом параграфе мы напомним сведения из теории вероятностей о случайных величинах и способах их определения, которые будут необходимы для дальнейшего изучения материала книги.
Согласно классическому определению, случайной называется величина, значение которой может меняться от опыта к опыту случайным образом. То есть в каждом "испытании" она может принимать одно единственное значение из некоторого множества. При этом нельзя предсказать, какое именно значение она примет.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная СВ может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.
3.2.2. Закон распределения случайной величины
Случайная величина определяется своим законом распределения. Закон распределения считается заданным, если указаны:
- множество возможных значений случайной величины (в т.ч. бесконечное) и
- вероятность попадания случайной величины в произвольную область этого множества, либо закон (формула), позволяющая рассчитать такую вероятность.
По сути, вероятность представляет собой показатель, характеризующий возможность появления случайной величины в данной области.
Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятностей , которую сокращенно называют функцией распределения .
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) , задающая вероятность того, что СВ примет значение меньше конкретного значения х , то есть:
F(x) = P(X < x)
Х ("икс большое") - обозначает случайную величину,
х ("икс маленькое") - конкретное значение из множества возможных значений случайной величины.
Функция распределения неубывающая. При х , стремящемся к минус бесконечности, она стремится к нулю, а при х , стремящемся к плюс бесконечности - к единице.
Форма представления закона распределения случайной величины может быть различна и зависит от того, какая это СВ - дискретная или непрерывная.
Из определения функции распределения следуют следующие зависимости:
вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от а до b :
Р(a ≤ Х < b) = F(b) - F(a)
вероятность того, что случайная величина примет значения не меньше, чем а :
3.2.3. Способы представления распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина может быть полностью задана своей функцией распределения или рядом (таблицей) распределения. Они могут быть представлены в табличной, аналитической или графической формах.
Допустим, случайная величина Х может принять три возможных значения 25 , 45 и 50 с вероятностями 25% , 35% и 40% соответственно. Ряд распределения этой СВ будет выглядеть следующим образом:
Функция распределения этой же случайной величины, которая показывает вероятность непревышения конкретного значения, может быть записана так:
На рис.3.1 представлены графические способы задания закона распределения этой дискретной случайной величины Х .
Рис.3.1.
На графике ряда распределения вероятности p j реализации каждого возможного значения х j представлены столбиками, высота которых равна вероятности. Сумма высот всех М столбиков (т.е. всех вероятностей) равна единице, поскольку они охватывают все возможные значения х :
Иногда вместо столбиков изображают ломанную, соединяющую вероятности реализации значений СВ.
Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение меньше, чем а , равна сумме вероятностей всех исходов, меньших а :
По определению, это равно значению функции распределения в точке х = а . Если мы нанесем на координатную плоскость значения функции распределения, когда х "пробегает" все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы получим график функции распределения. Для дискретной СВ он ступенчатый. На интервале от минус бесконечности до первого возможного значения х 1 она равна нулю, поскольку принять какое-либо значение на этом интервале невозможно.
Далее каждое возможное значение х j увеличивает функцию распределения на величину, равную вероятности наступления этого значения p j . Между двумя последовательными значениями х j и x j+1 функция распределения не изменяется, поскольку других возможных значений х там нет, и скачков не происходит. В конечном итоге, в точке последнего возможного значения х М происходит скачок на величину вероятности р М , и функция распределения достигает предельного значения, равного единице. Далее график идет на этом уровне параллельно оси х . Выше он никогда не поднимается, так как вероятность не может быть больше единицы.
3.2.4. Способы представления распределения непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина также задается своей функцией распределения, представленной, как правило, в аналитическом виде. Кроме того, она может быть полностью описана функцией плотности вероятности f(x) , которая представляет собой первую производную от функции распределения F(x) :
Функция плотности вероятности неотрицательна, а ее интеграл в бесконечных пределах равен единице.
Возьмем в качестве примера непрерывную случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Ее функция плотности вероятности задается аналитически формулой вида:
Здесь m X и σ X параметры распределения. m X характеризует местоположение центра распределения, а σ X - рассеивание относительно этого "центра".
Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины Х.
0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
Функция распределения
Закон распределения является полной и исчерпывающей характеристикой дискректной случайной величины. Однако она не является универсальной, так как не может быть применима к непрерывным случайным величинам. Непрерывная случайная величина принимает бесчисленное множество значений, заполняющих некоторый промежуток. Составить таблицу, включающую все значения непрерывной случайной величины практически невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует закон распределения, в том понимании как он существует для дискретной случайной величины.
Каким же образом описать непрерывную случайную величину?
Для этого используется не вероятность события Х=х, а вероятность события Х<х, где х - некоторая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является функцией х.
Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x):
F(x)=P(X
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для любых случайных величин: дискретных и непрерывных.
Свойства функции распределения:
1. При х 1 >х 2 F(x 1)> F(x 2)
2. F(- ∞)=0
3. F(+ ∞)=1
Функция распределения дискретной случайной величины - разрывная ступенчатя функция, скачки происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений. Сумма этих скачков равна единице.
1 F(x)
|
Числовые характеристики случайных величин.
Основными характеристиками дискретных случайных величин являются:
· функция распределения;
· ряд распределения;
для непрерывной случайной величины:
· функция распределения;
· плотность распределения.
Любой закон представляет некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину.
Однако прирешении ряда практических задач не всегда необходимо характиризовать случайную величину в полном объеме. Достаточно указать только некоторые числовые параметры, характеризующие случайную величину.
Такие характеристики, назначение которых заключается в представлении в концентрированном виде наиболее существенных особенностей распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
Характеристики положения
(МОЖ,мода,медиана)
Из всех используемых числовых характеристик случайных величин, чаще используются характеристики описывающие положение случайной величины на числовой оси, а именно указывают некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины.
Для этого используются следующие характеристики:
· математическое ожидание;
· медиана.
Математическое ожидание (среднее значение) вычисляется следующим образом:
х 1 р 1 +х 2 р 2 +….+х n р n ∑ х i р i
р 1 + р 2 + …..+р n n
Учитывая, что∑ p i , МОЖ равно М[Х] = ∑ x i p i
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.
Приведенная формулировка справедлива только для дискретных случайных величин.
Для непрерывных величин
М[Х] = ∫ x f(x)dx, где f(x) - плотность распределения Х.
Существуют различные способы расчета среднего значения. Наиболее распространенными формами представления средних величин являются среднее арифметическое значение, медиана и мода.
Среднее арифметическое получается путем деления суммарной величины данного признака для всей однородной статистической совокупности на количество единиц этой совокупности. Для расчета среднего арифметического используется формула:
Хср = (Х1+Х2+... +Хn):n,
где Хi - значение признака у i-ой единицы совокупности, n - количество единиц совокупности.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
М
Медианой называется значение, которая расположена в середине упорядоченного ряда. Для нечетного количества единиц ряда медиана является единственной и находится точно в середине ряда, для четного - она определяется как среднее значение двух рядом расположенных единиц совокупности, занимающих среднее положение.
Статистика представляет собой отрасль науки, которая изучает количественную сторону массовых явлений общественной жизни, состоящих из отдельных элементов, единиц. Объединение элементов составляет статистическую совокупность. Целью изучения является установление количественных закономерностей развития данного явления. Оно основано на применении теории вероятностей и законе больших чисел. Сущность этого закона заключается в том, что несмотря на индивидуальные случайные колебания отдельных элементов совокупности, в общей массе проявляется определенная закономерность, характерная для данной совокупности в целом. Чем большее количество единичных элементов характеризующих исследуемое явление рассматривается, тем более четко обнаруживается закономерность, присущая данному явлению.
Преступность - явление социальное, массовое, представляет собой статистическую совокупность многочисленных фактов единичных преступных проявлений. Это и дает основание применять для ее изучения методы теории статистики.
В статистических исследованиях общественных явлений, можно выделить три этапа:
1) статистическое наблюдение, т.е. сбор первичного статистического материала;
2) сводная обработка собранных данных, в процессе которой производится подсчет итогов, расчет сводных (обобщающих) показателей и представление результатов в виде таблиц и графиков;
3)анализ, в ходе которого выявляются закономерности исследуемой статистической совокупности, взаимосвязи между различными ее составляющими, осуществляется содержательная интерпретация обобщающих показателей.
Первым этапом статистического исследования является статистическое наблюдение. Оно играет особую роль, так как ошибки, допущенные в процессе сбора данных, практически невозможно исправить на дальнейших этапах работы, что влечет за собой в конечном итоге неверные выводы о свойствах сследуемого явления, неправильную их интерпретацию.
По способу регистрации фактов статистическое наблюдение делится на непрерывное и прерывное. Под непрерывным, или текущим, понимается такое наблюдение, при котором установление и выявление фактов производится по мере их возникновения. При прерывном наблюдении регистрация фактов производится либо регулярно через определенные промежутки времени, либо по мере необходимости.
По охвату единиц обследуемой совокупности различают сплошное и несплошное наблюдение. Сплошным называется наблюдение, при котором учету подлежат все единицы изучаемой совокупности. Так, например, регистрация преступлений теоретически представляет собой сплошное наблюдение. Однако на практике определенная часть преступлений, называемых латентными, остается за пределами исследуемой статистической совокупности и поэтому фактически такое наблюдение является несплошным. Несплошным называется наблюдение, при котором регистрации подлежат не все единицы изучаемой совокупности. Оно подразделяется на несколько видов: наблюдение основного массива, выборочное наблюдение и некоторые другие.
Наблюдение основного массива (его иногда называют несовершенным сплошным методом) представляет собой такой вид несплошного наблюдения, при котором из всей совокупности единиц объекта наблюдению подвергается такая их часть, которая составляет подавляющую, преобладающую долю всей совокупности. Проведение наблюдения по этому методу практикуется в тех случаях, когда сплошной охват всех единиц совокупности сопряжен с особыми трудностями и в то же время исключение из наблюдения определенного количества единиц не оказывает существенного влияния на выводы о свойствах всей совокупности. Поэтому регистрацию преступлений скорее можно отнести именно к данному виду наблюдения.
Наиболее совершенным видом несплошного наблюдения является выборочное, при котором с целью характеристики всей совокупности обследованию подвергается лишь некоторая ее часть, однако взятая на выборку по определенным правилам. Основным условием правильности проведения выборочного наблюдения является такой отбор, в результате которого отобранная часть единиц по всем подлежащим изучению признакам достаточно точно характеризовала бы всю совокупность в целом. Чаще всего выборочное наблюдение применяется в ходе социологических исследований. В дальнейшем будем рассматиривать правила и способы отбора единиц при выборочном наблюдении.
После того как первичный материал собран и проверен, осуществляется второй этап статистического исследования сводка. Статистическое наблюдение дает материал, характеризующий отдельные единицы объекта исследования. Задача сводки - подытожить, систематизировать и обобщить результаты наблюдения так, чтобы стало возможным выявить характерные черты и существенные свойства, обнаружить закономерности изучаемых явлений и процессов.
Простейшим примером сводки является суммирование всех зарегистрированных преступлений. Однако такое обобщение не дает полного представления о всех свойствах криминогенной обстановки. Чтобы охарактеризовать преступность глубоко и всесторонне, необходимо знать, как общее количество преступлений распределяется по видам, времени, месту и способу совершения, и т.п.
Распределение единиц изучаемого объекта на однородные группы по существенным для них признакам называется статистической группировкой. Объекты, исследуемые статистикой, обычно характеризуются многими свойствами и отношениями, выражаемыми различными признаками. Поэтому группировка обследуемых объектов может производиться в зависимости от задач статистического исследования по одному или нескольким из этих признаков. Так, личный состав органа может быть сгруппирован по должностям, специальным званиям, возрасту, выслуге лет, семейному положению и т.д.
В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений или процессов либо их изменение. Эти ряды называются статистическими. По своему содержанию статистические ряды делятся на два вида: ряды распределения и ряды динамики. Рядами распределения называются ряды, характеризующие распределение единиц исходной совокупности по какому-либо одному признаку, разновидности которого расположены в определенном порядке. Например, распределения общего количества преступлений на отдельные виды, численности всего личного состава по должностям представляют собой ряды распределения.
Динамическими рядами называются ряды, которые характеризуют изменение размеров общественных явлений во времени. Подробное рассмотрение таких рядов и их использование при аналихзе и прогнозе криминогенной обстановки составляет предметом отдельной лекции.
Результаты статистического наблюдения и сводки его материалов выражаются прежде всего в абсолютных величинах (показателях). Абсолютные величины показывают размеры общественного явления в данных условиях места и времени, например, количество совершенных преступлений или число лиц, их совершивших, фактическая численность личного состава или количество единиц автотранспорта. Абсолютные величины подразделяются на индивидуальные и суммарные (т.е. итоговые). Индивидуальными называются абсолютные величины, выражающие размеры количественных признаков у отдельных единиц той или иной совокупности объектов (например, число потерпевших или материальный ущерб по конкретному уголовному делу, возраст или выслуга лет данного сотрудника, его денежное содержание и т.п.). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах. Индивидуальные абсолютные величины служат основой любого статистического исследования.
В отличие от индивидуальных суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченных статистическим наблюдением. Они получаются либо путем прямого подсчета числа единиц наблюдения (например, числа преступлений определенного вида), либо в результате суммирования значений признака у отдельных единиц совокупности (например, ущерб, нанесенный всеми преступлениями).
Однако абсолютные величины, взятые сами по себе, далеко не всегда дают надлежащее представление об изучаемых явлениях и процессах. Поэтому наряду с абсолютными величинами большое значение в статистике имеют относительные величины.
Сравнение является основным приемом оценки статистических данных и составной частью всех методов их анализа. Однако простое сопоставление двух величин недостаточно для точной оценки их соотношения. Это соотношение нужно также измерить. Роль меры такого соотношения и выполняют относительные величины.
В отличие от абсолютных, относительные величины представляют собой производные показатели. Они получаются не в результате простого суммирования, а путем относительного (кратного) сравнения между собой абсолютных величин.
В зависимости от характера изучаемого явления и конкретных задач исследования относительные величины могут иметь различную форму (внешний вид) выражения. Наиболее простой формой выражения относительной величины является число (целое или дробное), показывающее, во сколько раз одна величина больше другой, принятой за базу сравнения, или какую часть ее составляет.
Чаще всего, в аналитической деятельности органов внутренних дел применяется другая форма представления относительных чисел, процентное отношение, при которой основная величина принимается за 100. Для определения процентного отношения необходимо результат деления одной абсолютной величины на другую (базовую) умножить на 100.
Важная роль в сводной обработке статистических данных принадлежит средней величине. Поскольку каждая отдельно взятая единица статистической совокупности обладает индивидуальными особенностями, отличаясь от любой другой количественным значением, для характеристики свойств всей статистической совокупности в целом используется средняя величина . Под средней величиной в статистике понимают показатель, который отражает уровень меняющегося по величине признака в расчете на единицу однородной совокупности.
Для характеристики однородности статистической совокупности
по соответствующему признаку используются различные показатели: вариация, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Эти показатели позволяют оценить, в какой степени соответствующая средняя величина отражает свойства всей совокупности в целом, может ли она вообще использоваться в качестве обобщающей характеристики данной статистической совокупности. Подробное рассмотрение перечисленных показателей является самостоятельным вопросом.
Определение . Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.
Случайные величины обозначают: X , Y 1 , Z i ; ξ , η 1 , μ i , а их возможные значения - x 3 , y 1k , z ij .
Пример . В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величины является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид
{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6 }.
Имеем следующее соответствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X :
То есть каждому элементарному исходу ω i , i=1, …, 6 , ставится в соответствие число i .
Пример . Монету подбрасывают до первого появления «герба». В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X - число бросаний до первого появления «герба» с множеством возможных значений {1, 2, 3, … } и Y - число «цифр», выпавших до первого появления «герба», с множеством возможных значений {0, 1, 2, …} (ясно, что X=Y+1 ). В данном опыте пространство элементарных исходов Ω можно отождествить с множеством
{Г, ЦГ, ЦЦГ, …, Ц…ЦГ, … },
причем элементарному исходу {Ц … ЦГ } ставится в соответствие число m+1 или m , где m - число повторений буквы «Ц».
Определение . Скалярную функцию X(ω) , заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x∈ R {ω:X(ω) < x} является событием.
Функция распределения случайной величины
Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением случайной величины.
Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.
Определение . Функция распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события {X < x} , то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω , для которых X(ω) < x :
F(x) = P{X < x} .
Обычно говорят, что значение функции распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x .
Теорема . Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:
Типичный вид функции распределения.
Дискретные случайные величины
Определение . Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.
Определение . Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней - вероятности p i =P\{X=x i \} того, что случайная величина примет эти значения.
Для проверки правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать вероятности p i . В силу аксиомы нормированности:
По ряду распределения дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения F(x) . Пусть X - , заданная своим рядом распределения, причем x 1 < x 2 < … < x n . Тогда для всех x ≤ x 1 событие {X < x} является невозможным, следовательно, по определению F(x)=0 . Если x 1 < x≤ x 2 , то событие {X < x} состоит из тех и только тех элементарных исходов, для которых X(ω)=x 1 . Следовательно, F(x)=p 1 . Аналогично, при x 2 < x ≤ x 3 событие {X < x} состоит из элементарных исходов ω , для которых либо X(ω)=x 1 , либо X(ω)=x 2 , то есть {X < x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Следовательно, F(x)=p 1 +p 2 и т.д. При x > x n событие {X < x} достоверно, тогда F(x)=1 .
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать также аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости описывается формулой
P{X=i} = 1/6 , i=1, 2, …, 6 .
Некоторые дискретные случайные величины
Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n в соответствии с распределением, заданным формулой Бернулли:
Это распределение является не чем иным, как распределения числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q=1-p .
Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями
где λ > 0 - параметр распределения Пуассона.
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событий.
В соответствие с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.
Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X - число испытаний, которое необходимо провести прежде, чем появится первый успех. Тогда X - дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n , … Определим вероятность события {X=n} .
- X=0 , если в первом испытании произойдет успех, следовательно, P{X=0}=p .
- X=1 , если в первом испытании произойдет неудача, а во втором - успех, то P{X=1}=qp .
- X=2 , если в первых двух испытаниях - неудача, а в третьем - успех, то P{X=2}=q 2 p .
- Продолжая процедуру, получим P{X=i}=q i p
, i=0, 1, 2, …
Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F (X ) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [A , B ].
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Определение. Средним квадратичным отклонением Называется квадратный корень из дисперсии.
Определение. Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется Двухмодальным или Многомодальным .
Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется Антимодальным .
Определение. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.
Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.
Определение. Начальным моментом Порядка K Случайной величины Х называется математическое ожидание величины ХK .
Для дискретной случайной величины: .
.
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.
Определение. Центральным моментом Порядка K случайной величины Х называется математическое ожидание величины
Для дискретной случайной величины: .
Для непрерывной случайной величины: .
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.
Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется Коэффициентом асимметрии .
Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая Эксцессом .
Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:
Абсолютный начальный момент: .
Абсолютный централь Ный момент: .
Абсолютный центральный момент первого порядка называется Средним арифметическим отклонением .
Пример. Для рассмо Ренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
Т. к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).
Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна
Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.
Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.
1) Белый шар не появился вовсе:
2) Белый шар появился один раз:
3) Белый шар появиться два раза: .
4) Белый шар появиться три раза: