Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены
Понятие многочлена
Определение 1
Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.
Определение 2
Многочлен -- это сумма одночленов.
Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.
Определение 4
Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.
Определение 5
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Определение 6
Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.
Определение 7
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.
Определение 8
Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.
Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.
Определение 9
Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.
Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$
Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.
Сумма многочленов
Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.
Пример 1
Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]
Раскроем скобки:
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]
\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]
Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.
Разность многочленов
Пример 2
Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]
Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{4xy}^5+{10x}^5\]
Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.
Произведения одночлена и многочлена
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен.
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3
Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$
Решение.
Составим произведение:
\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]
Раскроем скобки:
\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]
Перемножив, получим.
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) определение многочлена от нескольких переменных;
2) понятие симметрических многочленов;
3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;
4) бином Ньютона;
5) метод неопределенных коэффициентов.
Глоссарий по теме
Многочлен Р(х;у) называют однородным уравнением .
Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.
симметрическим , если Р(х;y) - симметрический многочлен.
Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители - это вам известно из курса алгебры 7-9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.
Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x 2 -5xy+2y 2 .
Воспользуемся методом группировки
2x 2 -5xy+2y 2= 2x 2 -4xy-xy+2y 2 = 2x(x-2y) –y(x-2y)=
Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u) 2 .
(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).
Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).
Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени , если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) - однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением .
Приведем примеры.
1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.
2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 - однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 - однородное уравнение второй степени.
3) p(x; y)= x 3 +4xy 2 -5y 3 - однородный многочлен третьей степени; x 3 +4xy 2 -5y 3 =0 соответственно - однородное уравнение третьей степени.
4) p(x; y)= a n x n +a n-1 x n-1 y+a n-2 x n-2 y 2 + …+a 1 xy n-1 +a 0 y n - общий вид однородного многочлена n-й степени.
Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-
метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения
- Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
- Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
- Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.
Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b – ap) x 2 + (c – bp) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).
Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.
Пример 4. Решим уравнение x 3 +4xy 2 -5y 3 =0
Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х 3 , получим:
Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z 2 -5z 3 =0.
(5z 3 -5z 2)+(z 2 -1)=0
5z 2 (z-1)+(z-1)(z+1)=0
(z-1)(5z 2 +z+1)=0
Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z 3 -4z 2 -1=0 действительных корней не имеет.
Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.
Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.
Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x 2 y+xy 2 . В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y 2 x+yx 2 , но это то же самое, что x 2 y+xy 2 . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x 2 +y 2 , x 3 +y 3 , x 4 +y 4 и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.
Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.
Например,
x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy
x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y)
x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2)-(x 4 +y 4)+3(xy) 2 и т.д.
Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим , если Р(х;y) - симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.
А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.
Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.
Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.
Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином », по-русски – двучлен .
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)
(a+b) 3 =(a+b)(a+b)(a+b)
Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?
Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а , она убывает от максимума до нуля):
(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3)(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4
(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4)(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5
Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:
Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1 ):
n=1, (a+b) 1 =a+b
Окончательно получим:
Общая формула бинома Ньютона:
Правая часть формулы называется разложением степени бинома.
Называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые - членами бинома.
Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.
На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.
Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.
В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.
Пример 5.
Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.
Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.
Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Из данных многочленов выделите симметрические:
- 2х 2 -5ху+2у 2 -6
- 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
- -3ху+6х²-5у²+8
- 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴
Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим , если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.
Верный ответ:
- 2х 2 -5ху+2у 2 -6
- 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
- -3ху+6х²-5у²+8
- 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴
(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5
Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Нас интересует последняя строчка.
Применив ее, получим ответ:
(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5
Возьмем две буквы x
и y
. Произведение где а
– число, называется одночленом. Его степень равна k+l
. Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.
Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-
ых степеней, которое вам известно для n=2
и 3
:
Эти формулы легко обобщаются для произвольного n
:
Сумма n-
ых степеней легко раскладывается в случае, когда n
нечетно. Слагаемое можно представить в виде и воспользоваться формулой разложения разности n-
ых степеней.
Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x
и y
.
Симметри́ческий многочле́н - многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.
Примеры
- Основные симметрические многочлены - многочлены вида
определённые для , то есть такие:
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Определение 1
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.
Рассмотрим еще определения.
Определение 2
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.
Определение 3
Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .
Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.
Определение 4
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Определение 5
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Определение 6
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Определение 7
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Определение 8
Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Пример 1
Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .
Решение
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.
Ответ : 6 .
Коэффициенты членов многочлена
Определение 9Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Одночлены и многочлены от одной переменной
Одночленом (мономом) от переменной x называют целую неотрицательную степень переменной x , умноженную на число.
Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени .
Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:
i 1 + i 2 + … + i n .
Число c называют коэффициентом одночлена .
Пример . Степень одночлена
равна 3, а коэффициент равен - 0,83 .
Два одночлена равны , если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.
Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных . Например,
Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.
В частности, степень многочлена
равна 8.
Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом , если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.
Например, многочлен
является однородным многочленом степени 3.