1 уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Условия равновесия пространственной системы сил
![1 уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Условия равновесия пространственной системы сил](https://i1.wp.com/konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza10/3730777880105.files/image137.gif)
Условие равновесия пространственной системы сходящихся сил : алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси координат должны быть равны нулю, т.е.
Для того чтобы найти момент силы относительно оси z, надо спроектировать силу на плоскость Н перпендикулярную оси z (рис. 12), затем найти момент проекции F н относительно точки О, которая является точкой пересечения плоскости Н сосью z. Момент проекции F н и будет являться моментом силы относительно оси z:
Пространственной системой произвольно расположенных сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке. Равнодействующая такой системы сил также равна геометрической сумме этих сил, но изображается диагональю сложных объемных фигур (тетраэдр, октаэдр и т.д.).
Условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил: алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси координат должна быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно тех же осей координат должна быть равна нулю, т.е.
Трение
Трением называется сопротивление движению тела. Сила, с которой тело сопротивляется движению, называется силой трения.
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению. Сила трения зависит от материала трущихся тел, чистоты обработки и наличия смазки и не зависит от величины трущихся поверхностей.
Трение бывает: сухое, полужидкостное, жидкостное.
Различают трение покоя, движения, скольжения и качения. Сила трения покоя больше, чем сила трения движения.
Сила трения равна произведению силы нормального давления на коэффициент трения скольжения (рис. 14):
F тр =R n ƒ,
где R n = mg cos a - сила нормального давления;
ƒ - коэффициент трения скольжения.
![]() |
Коэффициентом трения скольжения называется отношение силы трения к силе нормального давления:
Материалы, обладающие очень малым трением, называются антифрикционными (баббит, бронза, графит).Применяются для изготовления подшипников и др.
Материалы, обладающие большим трением, называются фрикционными (специальные пластмассы с применением асбеста и меди). Применяются для накладок тормозных колодок, для накладок дисков сцепления.
При смазке поверхности скольжения тело начинает двигаться с меньшим трением.
Разложим силу тяжести G на составляющие G ’ и G " (рис.15)
Составим уравнение равновесия:
где h - расстояние от поверхности до линии действия силы;
k - коэффициент трения качения. Он равен отрезку ОС(см. рис16)
F дв = F тр,
F тр =R п k/h
Если h = d,
F тр =R п k/d
если h = г,
F тр =R п k/d
Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям
ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;
ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;
ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.
Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.
В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми.
Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz , имеют вид:
ΣZ i = 0;
ΣM x (P i ) = 0;
ΣM y (P i ) = 0.
Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил.
Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.
Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).
Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.
В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.
Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Определим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис.45
Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.
Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.
Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе.
В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Составим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).
И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их
Составляем уравнения:
Из второго уравнения находим
Из третьего
И из первого
Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.
Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплёнными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB=2a , EO=a . Определим усилия в стержнях и реакции петель А и В .
Рис.46
Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпендикулярными оси петли: .
Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.
Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.
Составим такие уравнения:
Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .
Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.
Из треугольника , где , следует ,
Поэтому Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.
Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:
Задача решена правильно.
Вопросы для самопроверки
Какая конструкция называется фермой?
Назовите основные составные элементы фермы.
Какой стержень фермы называется нулевым?
Сформулируйте леммы, определяющие нулевой стержень фермы.
В чем заключается сущность способа вырезания узлов?
На основании каких соображений без вычислений можно определить стержни пространственных ферм, в которых при заданной нагрузке усилия равны нулю?
В чем заключается сущность способа Риттера?
Каково соотношение между нормальной реакцией поверхности и силой нормального давления?
Что называется силой трения?
Запишите закон Амонтона-Кулона.
Сформулируйте основной закон трения. Что такое коэффициент трения, угол трения и от чего зависит их значение?
Брус находится в равновесии, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол; центр тяжести бруса находится в его середине. Можно ли определить направление полной реакции пола?
Назовите размерность коэффициента трения скольжения.
Что такое предельная сила трения скольжения.
Что характеризует конус трения?
Назовите причину появления момента трения качения.
Какова размерность коэффициента трения качения?
Приведите примеры устройств, в которых возникает трение верчения.
В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения?
Что называют конусом сцепления?
Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности?
Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые поверхности?
Что называется моментом силы относительно точки? Какова размерность этой величины?
Как вычислить модуль момента силы относительно точки?
Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.
Что называется моментом силы относительно оси?
Запишите формулу, связывающую момент силы относительно точки с моментом этой же силы относительно оси, проходящей через эту точку.
Как определяется момент силы относительно оси?
Почему при определении момента силы относительно оси нужно обязательно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси?
Каким образом нужно расположить ось, чтобы момент данной силы относительно этой оси равнялся нулю?
Приведите формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.
Как направлен вектор момента силы относительно относительно точки?
Как определяется на плоскости момент силы относительно точки?
Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно данной точки?
Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?
В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?
Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:
а) геометрически равны;
б) равны по модулю.
Как определяются числовое значение и знак момента силы относительно оси?
При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?
При каком направлении силы, приложенной к заданной точке, ее момент относительно данной оси наибольший?
Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?
При каких условиях модуль момента силы относительно точки равен моменту той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?
Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?
Чему равны главные моменты системы сил, произвольно расположенных в пространстве, относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку? Какова зависимость между ними?
Чему равен главный момент системы сил, лежащих в одной плоскости, относительно любой точки этой плоскости?
Чему равен главный момент сил, составляющих пару, относительно любой точки в пространстве?
Что называется главным моментом системы сил относительно заданного полюса?
Как формулируется лемма о параллельном переносе силы?
Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.
Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.
Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.
Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.
Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?
Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.
При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?
Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?
Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?
К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:
а) имеет одно и то же значение не равное нулю;
б) равен нулю;
в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;
г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.
Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?
Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?
Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?
Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.
Составьте уравнения линии действия равнодействующей.
Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы сил?
Выведите уравнения центральной оси системы сил?
Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту.
По какой формуле вычисляют наименьший главный момент заданной системы сил?
Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?
Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?
Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?
Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до центральной оси этой системы сил?
Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол?
Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил геометрически равны между собой?
Каковы инварианты системы сил?
Каким условиям удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной и двумя закрепленными точками, находящемуся в покое?
Будет ли в равновесии плоская система сил, для которой алгебраические суммы моментов относительно трех точек, расположенных на одной прямой, равны нулю?
Пусть для плоской системы сил суммы моментов относительно двух точек равны нулю. При каких дополнительных условиях система будет в равновесии?
Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.
Что такое моментная точка?
Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?
Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?
Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.
СодержаниеПорядок решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил
Чтобы решить задачу на равновесие твердого тела с произвольной пространственной системой сил, надо выбрать прямоугольную систему координат и, относительно нее, составить уравнения равновесия.
Уравнения равновесия, для произвольной системы сил, распределенных в трехмерном пространстве, представляют собой два векторных уравнения:
векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю
(1)
;
векторная сумма моментов сил, относительно начала координат, равна нулю
(2)
.
Пусть Oxyz
- выбранная нами система координат. Спроектировав уравнения (1) и (2) на оси этой системы, получим шесть уравнений:
суммы проекций сил на оси xyz
равны нулю
(1.x)
;
(1.y)
;
(1.z)
;
суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю
(2.x)
;
(2.y)
;
(2.z)
.
Здесь мы считаем, что на тело действуют n
сил, включая силы реакций опор.
Пусть произвольная сила ,
с компонентами ,
приложена к телу в точке .
Тогда моменты этой силы относительно осей координат определяются по формулам:
(3.x)
;
(3.y)
;
(3.z)
.
Таким образом, порядок решения задачи, на равновесие с произвольной пространственной системой сил, следующий.
- Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций. Если опорой является стержень или нить, то сила реакции направлена вдоль стержня или нити.
- Выбираем прямоугольную систему координат Oxyz .
- Находим проекции векторов сил на оси координат, , и точек их приложения, . Точку приложения силы можно перемещать вдоль прямой, проведенной через вектор силы. От такого перемещения значения моментов не изменятся. Поэтому выбираем наиболее удобные для расчета точки приложения сил.
- Составляем три уравнения равновесия для сил (1.x,y,z).
- Для каждой силы, по формулам (3.x,y,z), находим проекции моментов силы на оси координат.
- Составляем три уравнения равновесия для моментов сил (2.x,y,z).
- Если число переменных больше числа уравнений, то задача статически неопределима. Методами статики ее решить нельзя. Нужно использовать методы сопротивления материалов.
- Решаем полученные уравнения.
Упрощение расчетов
В некоторых случаях удается упростить вычисления, если вместо уравнения (2) использовать эквивалентное условие равновесия.
Сумма моментов сил относительно произвольной оси AA′
равна нулю
:
(4)
.
То есть можно выбрать несколько дополнительных осей, не совпадающих с осями координат. И относительно этих осей составить уравнения (4).
Пример решения задачи на равновесие произвольной пространственной системы сил
Равновесие плиты, в трехмерном пространстве, поддерживается системой стержней.
Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую однородную горизонтальную плиту в трехмерном пространстве. Система крепления стержней показана на рисунке. На плиту действуют: сила тяжести G; и сила P, приложенная в точке A, направленная вдоль стороны AB.
Дано:
G = 28 kН
;
P = 35 kН
;
a = 7,5 м
;
b = 6,0 м
;
c = 3,5 м
.
Решение задачи
Сначала мы решим эту задачу стандартным способом, применимым для произвольной пространственной системы сил. А затем получим более простое решение, основываясь на конкретной геометрии системы, за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия.
Решение задачи стандартным способом
Этот метод хоть и приведет нас к довольно громоздким вычислениям, но он применим для произвольной пространственной системы сил, и может применяться в расчетах на ЭВМ.
Отбросим связи и заменим их силами реакций. Связями здесь являются стержни 1-6. Вводим вместо них силы , направленные вдоль стержней. Направления сил выбираем наугад. Если мы не угадаем с направлением какой-либо силы, то получим для нее отрицательное значение.
Проводим систему координат Oxyz с началом в точке O .
Находим проекции сил на оси координат.
Для силы имеем:
.
Здесь α 1
- угол между LQ
и BQ
.
Из прямоугольного треугольника LQB
:
м
;
;
.
Силы ,
и параллельны оси z
.
Их компоненты:
;
;
.
Для силы находим:
.
Здесь α 3
- угол между QT
и DT
.
Из прямоугольного треугольника QTD
:
м
;
;
.
Для силы :
.
Здесь α 5
- угол между LO
и LA
.
Из прямоугольного треугольника LOA
:
м
;
;
.
Сила направлена по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она имеет следующие проекции на оси координат:
.
Здесь - направляющие косинусы диагонали AQ
:
м
;
;
;
.
Выбираем точки приложения сил. Воспользуемся тем, что их можно перемещать вдоль линий, проведенных через векторы сил. Так, в качестве точки приложения силы можно взять любую точку на прямой TD
.
Возьмем точку T
,
поскольку для нее x
и z
- координаты равны нулю:
.
Аналогичным способом выбираем точки приложения остальных сил.
В результате получаем следующие значения компонентов сил и точек их приложений:
;
(точка B
);
;
(точка Q
);
;
(точка T
);
;
(точка O
);
;
(точка A
);
;
(точка A
);
;
(точка A
);
;
(точка K
).
Составляем уравнения равновесия для сил. Суммы проекций сил на оси координат равны нулю.
;
;
.
Находим проекции моментов сил на оси координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю.
;
;
;
Итак, мы получили следующую систему уравнений:
(П1)
;
(П2)
;
(П3)
;
(П4)
;
(П5)
;
(П6)
.
В этой системе шесть уравнений и шесть неизвестных. Далее сюда можно подставить численные значения и получить решение системы, используя математическую программу вычисления системы линейных уравнений.
Но, для этой задачи, можно получить решение без использования средств вычислительной техники.
Эффективный способ решения задачи
Мы воспользуемся тем, что уравнения равновесия можно составлять не единственным способом. Можно произвольным образом выбирать систему координат и оси, относительно которых вычисляются моменты. Иногда, за счет выбора осей, можно получить уравнения, которые решаются более просто.
Воспользуемся тем, что, в равновесии, сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю
. Возьмем ось AD
.
Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
(П7)
.
Далее заметим, что все силы, кроме пересекают эту ось. Поэтому их моменты равны нулю. Не пересекает ось AD
только одна сила .
Она также не параллельна этой оси. Поэтому, чтобы выполнялось уравнение (П7), сила N 1
должна равняться нулю:
N 1 = 0
.
Теперь возьмем ось AQ
.
Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П8)
.
Эту ось пересекают все силы, кроме .
Поскольку сила не параллельна этой оси, то для выполнения уравнения (П8) необходимо, чтобы
N 3 = 0
.
Теперь возьмем ось AB
.
Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П9)
.
Эту ось пересекают все силы, кроме ,
и .
Но N 3 = 0
.
Поэтому
.
Момент от силы относительно оси равен произведению плеча силы на величину проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси. Плечо равно минимальному расстоянию между осью и прямой, проведенной через вектор силы. Если закручивание происходит в положительном направлении, то момент положителен. Если в отрицательном - то отрицательный. Тогда
.
Отсюда
kН
.
Остальные силы найдем из уравнений (П1), (П2) и (П3). Из уравнения (П2):
N 6 = 0
.
Из уравнений (П1) и (П3):
kН
;
kН
Таким образом, решая задачу вторым способом, мы использовали следующие уравнения равновесия:
;
;
;
;
;
.
В результате мы избежали громоздких расчетов, связанных с вычислениями моментов сил относительно осей координат и получили линейную систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов, которая сразу разрешилась.
N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН ; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН ; N 5 = 38,6 kН ; N 6 = 0 ;
Знак минус указывает на то, что сила N 4 направлена в сторону, противоположную той, которая указана на рисунке.
Выше (6.5, случай 6) было установлено, что
Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил
:
(6.19)
Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).
Вывод произвольной пространственной системы сил , которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин .
Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).
Таким образом, остались три уравнения:
Вывод . При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины .
На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил , которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил: в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.
Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил
Вид системы сил | Уравнения равновесия | Количество определяемых неизвестных | |
Сходящаяся плоская
![]() | |||
Параллельная плоская
( оси 0у
)
![]() | ![]() | ||
Произвольная плоская
(в плоскости 0ху)
![]() | ![]() |
Продолжение таблицы 6.2
Продолжение таблицы 6.2
Вопросы для самоконтроля по теме 6
1. Как найти момент силы относительно оси?
2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?
3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?
4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?
5. В каком случае пространственная система сил приводится:
– к паре сил;
– к динамическому винту?
6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?
7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.
8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.
9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?
Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил .
В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю
R = 0, M o = 0 .
В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю
ΣF kx = 0 , ΣF ky = 0 , ΣF kz = 0 ,
M x (F k) = 0 , M y (F k) = 0 , M z (F k) = 0 .
Центр тяжести. Способы определение центра тяжести. Координаты центра тяжести плоского тела и составленных сечений.
Центр тяжести
Центр тяжести тела - точка приложения силы тяжести (равнодействующей гравитационных сил).
Центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.
Определение центра тяжести
Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.
Пусть тело состоит только из двух грузов с массами m 1 и m 2 , соединенных стержнем (рис. 126). Если масса стержня мала по сравнению с массами m 1 и m 2 , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действует сила тяжести:
P 1 =m 1 g, Р 2 =m 2 g;
обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы уже знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке О, которая определяется из условия
Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя массами в отношении обратном отношению масс. Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равновесии.
Определение координат центра тяжести
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C
и площадь S
известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy
(рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1
и S 2
(S = S 1 + S 2
). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1)
и C 2 (x 2 , y 2)
. Тогда координаты центра тяжести тела равны
![]() ![]() ![]() |
Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур)
Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А - площадь фигуры, h - ее высота.
Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:
;
; ,
где Ак - площадь части сечения; хк, ук - координаты ЦТ частей сечения.
Выражение называют статическим моментом площади (Sy.).
Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.
Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) - круг; б) - квадрат, прямоугольник; в) - треугольник; г) - полукруг).